Đáp án:

a) Xét  $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có:

$\widehat{B}+\widehat{C}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{C}=90^0-\widehat{B}=90^0-53^0=37^0$

b) 

Xét $\triangle BEA$ và  $ \triangle BED$ có

$BA=BD$ (gt)

$\widehat{ABE}=\widehat{DBE}$ (do $BE$ là phân giác góc B -gt)

$BE$ chung

$\Rightarrow $  $ \triangle BEA=$  $ \triangle BED$ (c.g.c)

c) 

Xét $\triangle BHF$ và $\triangle BHC$ có

$\widehat{BHF}=\widehat{BHC}$ (do $CH \bot BE$-gt)

$BH$ chung

$\widehat{FBH}=\widehat{CBH}$ (do $BE$ là phân giác góc B -gt)

$\Rightarrow $ $\triangle BHF=$  $\triangle BHC$ (g.c.g)

d) 

Do $\triangle BHF=$  $\triangle BHC$ (cmt) nên $BF=BC$ (hai cạnh tương ứng)

Xét  $\triangle BAC$ và  $\triangle BDF$ có:

$BA=BD$ (gt)

$\widehat{B}$ chung

$BF=BC$ (cmt)

$\Rightarrow $ $\triangle BAC=$  $\triangle BDF$ (c.g.c)

Ta có:

$BF=BA+AF$

$BC=BD+DC$

mà $BA=BD$ (gt)

$BF=BC$ (cmt)

$\Rightarrow AF=DC$

Do  $\triangle BAC=$ $\triangle BDF$ (cmt) nên $\widehat{DCE}=\widehat{AFE}$ (hai góc tương ứng)

Do  $\triangle BEA=$  $\triangle BED$ (cmt) nên $\widehat{BAE}=\widehat{BDE}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{EAF}=\widehat{EDC}=90^0$

Xét $\triangle AFE$ và  $\triangle DCE$ có:

$\widehat{EAF}=\widehat{EDC}=90^0$ (cmt)

$AF=DC$ (cmt)

$\widehat{AFE}=\widehat{DCE}$ (cmt)

$\Rightarrow $ $\triangle AFE=$  $\triangle DCE$ (g.c.g)

$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{DEC}$ (hai góc tương ứng)

Ta có: 

$\widehat{DEC}+\widehat{DEA}=180^0$

mà $\widehat{AEF}=\widehat{DEC}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{AEF} +\widehat{DEA}=180^0$

$\Rightarrow D,E,F $ thẳng hàng.