a) Ta có:

$CA;\, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A;\, M$

$\to \begin{cases}OA\perp CA\\OM\perp CM\end{cases}$

$\to \widehat{OAC} = \widehat{OMC} = 90^\circ$

Xét tứ giác $ACMO$ có:

$\widehat{OAC} = \widehat{OMC} = 90^\circ\quad (cmt)$

Do đó $ACMO$ là tứ giác nội tiếp

$\to A,\, C,\, M,\, O$ cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có:

$CA;\, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A;\, M$

$\to CA = CM$

Lại có:

$OA = OM = R$

$\to OC$ là trung trực của $AM$

$\to OC$ là phân giác của $\widehat{AOM}$

$\to \widehat{MOC} = \dfrac12\widehat{AOM}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$OD$ là trung trực cùa $BM$

$\to OD$ là phân giác của $\widehat{BOM}$

$\to \widehat{MOD} = \dfrac12\widehat{BOM}$

Ta có:

$\widehat{COD} = \widehat{MOC} + \widehat{MOD}$

$\to \widehat{COD} = \dfrac12\widehat{AOM} + \dfrac12\widehat{BOM}$

$\to \widehat{COD} = \dfrac12(\widehat{AOM} +\widehat{BOM})$

$\to \widehat{COD} = \dfrac12\cdot180^\circ$

$\to \widehat{COD} = 90^\circ$

$\to ΔCOD$ vuông tại $O$

Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔCOD$ vuông tại $O$ đường cao $OM$ ta được:

$OM^2 = CM.DM$

$\to R^2 = AC.BD$

$\to 4R^2 = 4AC.BD$

$\to AB^2 = 4AC.BD$

c) Ta có:

$AC\perp AB$

$BD\perp AB$

$\to ACDB$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$

Gọi $E$ là trung điểm $CD$

$\to EC = ED = \dfrac12CD$

mà $OA = OB = R$

nên $OE$ là đường trung bình của hình thang $ACDB$

$\to OE//AC//BD$

$\to OE\perp AB$

Xét $ΔCOD$ vuông tại $O$ có:

$E$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\to EC = ED = EO$

$\to E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ΔCOD$

Lại có: $EO\perp AB \quad (cmt)$

Do đó $AB$ là tiếp tuyến của $(E)$ tại $O$