`a)`

Vì `A;B,C` cùng thuộc đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ nên $∆ABC$ vuông tại $C$

`=>\hat {ACB}=90°`

____

(Nếu ko được làm như trên thì làm cách khác:

Vì `A;B,C` cùng thuộc đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ nên:`OA=OB=OC={AB}/2`

`=>∆ABC` có đường trung tuyến $OC$ bằng một nửa độ dài cạnh $AB$

`=>∆ABC` vuông tại $A$)

`b)`

Vì $CD\perp {AE}$ tại $H$ `=>` $CD\perp {AB}$

`=>H` là trung điểm của $CD$ (đường kính vuông góc tại trung điểm của dây cung)

Ta lại có: $H$ là trung điểm $AE$ (gt)

`=>` Tứ giác $ACED$ có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên $ACED$ là hình thoi.

`c)`

$ACED$ là hình thoi (câu b)

`=>DE` // $AC$

Mà $AC\perp {BC}$ `=>DE` $\perp {BC}$ 

`=>\hat{EIB}=90°` và `\hat{CID}=90°`

Xét $∆CDI$ vuông tại $I$ có $IH$ là trung tuyến 

`=>IH=1/ 2 CD=DH=>∆DHI` cân tại $H$

`=>\hat{HID}=\hat{HDI}`

Ta có: `\hat{HDI}=\hat{EBI}` (cùng phụ `\hat{DCB}`)

`=>\hat{HID}=\hat{EBI}`

Gọi $M$ là trung điểm $BE$ `=>IM` là trung tuyến $∆IEB$ vuông tại $I$

`=>IM=1/ 2 EB=BM=>∆MBI` cân tại $M$

`=>\hat{MIB}=\hat{MBI}=\hat{EBI}=\hat{HID}`

Ta có:

`90° =\hat{EIB}=\hat{BIM}+\hat{EIM}=\hat{HID}+\hat{EIM}=\hat{HIM}`

`=>\hat{HIM}=90°`

`=>HI` $\perp{IM}$

Vì `IM=EM=BM=1/ 2 EB` và $HI\perp{IM}$ tại $I$ nên $HI$ là tiếp tuyến của đường tròn `(M)` đường kính $EB$ (đpcm)

Bài 8

a) Vì BM là tiếp tuyến với B là tiếp điểm

=> Góc OBM = 90 độ

=> T/g BMO vuông tại B

b) Ta có OA = OB = 5cm (=R)

Xét t/g OHB vuông tại H

$BH^{2}$ + $OH^{2}$ = $OB^{2}$ ( Py-ta-go )

=>$BH^{2}$ + $3^{2}$ = $5^{2}$ 

=> BH = 4cm

 Xét t/g OMB vuông tại B, đường cao BH

$BH^{2}$ = OH.HM (hệ thức lượng)

=> $4^{2}$ = 3.HM

=> HM = $\frac{16}{3}$ 

Xét t/g OMB vuông tại B đường cao BH

$BM^{2}$ = HM.OM (hệ thức lượng)

=>$BM^{2}$ = $\frac{16}{3}$ . (3+$\frac{16}{3}$)

=> BM = $\frac{20}{3}$ (cm)

c) Ta có OB = OC (=R)

=> T/g OBC cân tại O

=> Đường cao OH cũng là đường trung trực

=> BM=CM (tính chất đường trung trực)

Xét t/g OBM và t/g OCN có

OM là cạnh chung

OB = OC (=R)

BM=CM (cmt)

=> t/g OBM = t/g OCN (c.c.c)

=> góc OBM = góc OCN = 90 độ ( góc tương ứng)

=> MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) ( C thuộc (O) )

Ta có: T/g OBM vuông tại B 

=> T/g OBM nội tiếp đường tròn đường kính OM (1)

Ta có: T/g OCM vuông tại C

=> T/g OCM nội tiếp đường tròn đường kính OM (2)

Từ (1) và (2)

=> O,B,M,C thuộc cùng một đường tròn đường kính OM

=> Tâm đường tròn đi qua 4 điểm sẽ là trung điểm của OM