Đáp án:

 1

Giải thích các bước giải:

 ta có M là hình chiếu của  A trên BC 
=) AM vuông với BC 
ta có tam giác ABC cân tại A 
=) AB = AC và góc B = góc C
xét tam giác ABM có AM vuông với BC và tam giác ACM  có AM vuông với BC
  AB = AC
góc B = góc C
 do đó tam giác ABM = tam giác ACM ( cạnh huyền - góc nhọn )
 =) góc BAM = góc CAM ( tương ứng )
  =) AI là tia phân giác của góc A
ta có tam giác ABM =tam giác ACM 
=) BM = CM( tương ứng )
=) M là trung điểm của BC
ta có K là trung điểm của AC và BK cắt AM tại I
         M là trung điểm của BC  và I thuộc AM
 từ 2 điều đó suy ra BK và AM là 2 đg trung tuyến của tam giác ABC(1)
=) I là giao điểm của BK và AM(2)
từ (1) và (2)=) AI = 2MI
xét tam giác IMB và tam giác NMC
góc IMB = góc CMN ( đối đỉnh)
 MB = MC 
MN = MI 
do đó tam giác IMB =tam giác NMC ( c.g.c)
=) góc IBM = góc MCN( tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trog 
=) BI // CN
ta có MA vuông với BC 
=) góc AMB = 90 độ

ta có MA và MN đối nhau 
Mà   góc AMB + góc NMB = 180 độ ( kề bù)
=) góc NMB = 90 độ
xét tam giác IMB và tam giác NMB 
góc NMB = góc AMB
MI = MN
MB chung
do đó tam giác IMB = tam giác NMB( c.gc)
=) góc MBI = góc NBM( tương ứng ) (3)
xét tam giác IMB và tam giác CMN 
 góc IMB = góc  CMN ( đối dỉnh)
 MI = MN 
MB = MC
do đó tam giác IMB = tam giác CMN ( c.g.c)
=)góc IBM = góc MCN( tương ứng ) (4)

từ (3) và (4) =) góc NBM = góc MCN (5)
xét tam giác BMN và tam giác IMC 
MB = MC 
góc IMC = góc BMD ( đổi đỉnh)

MI = MN
do đó 2 tam giác trên bằng nhau
=) góc MBN = góc CIM ( tường ứng ) (6)

từ (5) và (6) =) CIM = CNM 
=) CIN cân