`\Delta``= ( 2m - 1 )^2 - 4.2.( m + 1 )`

`\Delta``= ( 2m - 1 )^2 - 8.( m + 1)

`\Delta``= 4m^2 - 4m + 1 - 8m - 8`

`\Delta``= 4m^2 - 12m - 7`

Để pt có `2` no đều âm

`=>`$\begin{cases}\Delta = 4m^2 - 12m - 7\\x_{1} + x_{2} < 0\\x_{1}.x_{2} > 0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}\Delta = ( 2m + 1 )( 2m - 7 ) > 0\\-2m + 1 < 0\\m + 1 > 0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} \left[\begin{matrix} 2m + 1 > 0\\ 2m - 7 > 0\end{matrix}\right. \\\left[\begin{matrix} 2m + 1 < 0\\ 2m - 7 < 0\end{matrix}\right.\\-2m < - 1\\m > - 1 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} \left[\begin{matrix} m > \dfrac{-1}{2}\\ m > \dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix} m < - \dfrac{1}{2}\\ m < \dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\\m > \dfrac{1}{2}\\m > - 1 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}\left[\begin{matrix} m > \dfrac{7}{2} \\ m < \dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right. \\m > - 1\\ m > \dfrac{1}{2}  \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} m > \dfrac{7}{2}\\m > - 1\\m > \dfrac{1}{2} \end{cases}$

`=> m > 7/2`

Ta có :

`x_{1} + x_{2} =``\frac{ -2m + 1}{2}`

`=> 2( x_{1} + x_{2} ) = - 2m + 1 `

`<=> 2( x_{1} + x_{2} ) - 1 = - 2m`

`<=> m =``\frac{2(x_{1} + x_{2}) - 1}{- 2}`

`<=> m =``\frac{-2(x_{1} + x_{2}) + 1}{2}`

`x_{1}.x_{2} = ``\frac{m + 1}{2}`

`<=>2( x_{1}.x_{2} )= m + 1`

`<=> m = 2(x_{1}.x_{2} ) - 1`

Để có hệ thức liên hệ giữa `2` no không phụ thuộc vào `m`

`=> 2(x_{1}.x_{2} ) - 1 =``\frac{-2( x_{1} + x_{2} ) + 1}{2}`

`<=> 2(x_{1}.x_{2} ) - 1 +``\frac{2( x_{1} + x_{2} )- 1}{2}``= 0`

`<=> 2(x_{1}.x_{2} ) - 1 + x_{1} - x_{2} + 1/2 = 0`

`<=> x_{1} + x_{2} + 2(x_{1}.x_{2} ) - 3/2 = 0`

Vậy `x_{1} + x_{2} + 2(x_{1}.x_{2} ) - 3/2` là hệ thức liên hệ giữa `2` no ko phụ thuộc vào `m`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`2x^2+(2m-1)x+m+1=0`

Yêu cầu bài toán tương đương với:

$\begin{cases} \Delta>0\\P>0\\S<0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}(2m-1)^2-4.2(m+1) >0\\\dfrac{m+1}{2}>0\\\dfrac{-(2m-1)}{2}<0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}4m^2+1-4m-8m-8 >0\\m+1>0\\-(2m-1)<0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}4m^2-12m-7 >0\\m>-1\\2m-1>0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}4m^2-14m+2m-7 >0\\m>-1\\2m>1 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}2m(2m-7)+2m-7 >0\\m>-1\\m> \dfrac{1}{2}\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}(2m+1)(2m-7)>0\\m>-1\\m> \dfrac{1}{2}\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} 2m+1>0\\2m-7>0 \end{cases}\\\begin{cases} 2m+1<0\\2m-7 <0\end{cases}\end{array} \right.\\m>-1\\m> \dfrac{1}{2}\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} m>\dfrac{-1}{2}\\m>\dfrac{7}{2}\end{cases}\\\begin{cases} m<\dfrac{-1}{2}\\m <\dfrac{7}{2}\end{cases}\end{array} \right.\\m>-1\\m> \dfrac{1}{2}\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}m>\dfrac{7}{2}\\ m<\dfrac{-1}{2}\end{array} \right.\\m>-1\\m> \dfrac{1}{2}\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}m>\dfrac{7}{2}\\m>-1\\m> \dfrac{1}{2}\end{cases}$

`<=>m>7/2`

Vậy `m>7/2`để phương trình có 2 nghiệm đều âm

-Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc `m`

Theo Vi-ét:$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-(2m-1)}{2}(*)\\x_1x_2=\dfrac{m+1}{2}(**) \end{cases}$

Từ $(*)$ ta có:

`x_1+x_2=\frac{-(2m-1)}{2}`

`<=>-2m+1=2(x_1+x_2)`

`<=>-2m=2(x_1+x_2)-1`

`<=>m=(2(x_1+x_2)-1)/(-2)`(1)

Từ $(**)$ ta có:

`x_1x_2=\frac{m+1}{2}`

`<=>m+1=2x_1x_2`

`<=>m=2x_1x_2-1`(2)

Từ `(1)` và `(2)`

`=>2x_1x_2-1=(2(x_1+x_2)-1)/(-2)`

`<=>2x_1x_2-1=-x_1-x_2+1/2`

`<=>2x_1x_2-1+x_1+x_2-1/2=0`

`<=>x_1+x_2 +2x_1x_2-3/2=0`

Vậy hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc `m` là:

`x_1+x_2 +2x_1x_2-3/2=0`