Đáp án:

Giải thích các bước giải:

d)

$\bullet \,\,$câu c đã làm rồi thì ta sẽ có được $\Delta DOE$ vuông tại $O$

$\bullet \,\,$Xét $\Delta DOE$ vuông tại $O$ có $OM$ là đường cao:

$\to O{{M}^{2}}=MD.ME$

Mà:

$O{{M}^{2}}={{R}^{2}}$

$MD=AD$

$ME=BE$

$\to {{R}^{2}}=AD.BE$

Mà ${{R}^{2}}$ là hằng số

Vậy tích $AD.BE$ luôn luôn bằng ${{R}^{2}}$ khi  $M$ di động trên đường tròn $\left( O \right)$

e)

$\bullet \,\,$Chu vi hình thang $ABED=AB+BE+ED+DA$

Mà $AB=2R$ thì không thay đổi

Vậy ta chỉ xét $BE+ED+DA$

$BE+ED+DA$

$=ME+ED+MD$

$=ED+ED$

$=2ED$

Vậy để chu vi hình thang $ABED$ nhỏ nhất thì cạnh $ED$ phải nhỏ nhất

$\bullet \,\,$Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

$M{{E}^{2}}+M{{D}^{2}}\ge 2ME.MD$

$M{{E}^{2}}+M{{D}^{2}}+2ME.MD\ge 4ME.MD$

$E{{D}^{2}}\ge 4{{R}^{2}}$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $ME=MD$

Hay $M$ là trung điểm $ED$

Vậy $ED$ nhỏ nhất khi $M$ là trung điểm $ED$

$\bullet \,\,$Hình thang $ABED$ có $O,M$ lần lượt là trung điểm $AB,ED$ nên $OM$ là đường trung bình của hình thang $ABED$

$\to OM//AD//BE$

Mà $AD\bot AB$

$\to OM\bot AB$

$OM$ vuông góc với đường kính $AB$

$\to M$ là điểm chính giữa của nữa đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB$