Đáp án:

a) 

Xét tam giác $ABC$ cân tại $B$ có đường cao $BH$ 

$\Rightarrow BH$ đồng thời là đường trung trực

hay $BM$ là trung trực của $AC$

$\Rightarrow O \in BM$

$\Rightarrow BM$ là đường kính của đường tròn $(O)$.

Xét tam giác $BCM$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, có $BM$ là đường kính

$OC=OB=OM=\dfrac{1}{2}BM$ (trong tam giác đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông tại đỉnh của đường trung tuyến)

$\Rightarrow$ tam giác $BCM$ vuông tại $C$ 

b) 

Do $BH$ là đường trung trực nên $H$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow AH=HC=\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot 24=12cm$  

Xét tam giác $BCH$ vuông tại $H$ có

$BH^2+HC^2=BC^2$ (định lý Pitago)

$BH^2=BC^2-HC^2=20^2-12^2=256$

$BH=16cm$

Xét tam giác $BCM$ vuông tại $C$ có đường cao $HC$, nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$BC^2=BH.BM$

$BM=\dfrac{BC^2}{BH}=\dfrac{20^2}{16}=25cm$

Vậy bán kính của đường tròn tâm $(O)$ là: $R=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{1}{2}\cdot 25=12,5cm$.

c) 

Chứng minh tương tự câu a ta được $\Delta BAM\bot A$

$\Rightarrow\widehat{AMB}+\widehat{ABM}=90^o$

mà $CH\bot BH\Rightarrow\widehat{ACB}+\widehat{CBM}=90^o$

mà $\widehat{ABM}=\widehat{CBM}$ do $\Delta ABC$ cân đỉnh $B$ nên đường cao $BH$ cũng là đường phân giác

$\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{ACB}$