Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $MP\perp AB$

               $PN$ là tiếp tuyến của $(O)\to CN\perp PN$

$\to \widehat{OMP}=\widehat{ONP}=90^o$ 

$\to OMNP$ nội tiếp đường tròn đường kính $OP$

b.Ta có: $CD$ là đường kính của $(O)\to CN\perp DN$

                $AB\perp CD$

$\to \widehat{MND}=\widehat{MOD}=90^o$

$\to M, O, D, N$ cùng thuộc một đường tròn

Vì $MOPN$ nội tiếp $\to O, M, N, P$ cùng thuộc một đường tròn 

$\to M, O, D, N, P$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{ODP}=180^o-\widehat{ONP}=90^o$

$\to PD\perp OD$

Mà $AC\perp CD, PM\perp AB$

$\to MODP$ là hình chữ nhật

Ta có: $PN\perp ON, PD\perp OD\to PN,PD$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OP$ là phân giác $\widehat{NOD}$

$\to \widehat{DOP}=\dfrac12\widehat{NOD}=\widehat{NCD}$

$\to OP//CN$

$\to OP//CM$

Ta có: $MP//CO(\perp AB)$

$\to CMPO$ là hình bình hành

c.Xét $\Delta CMO,\Delta CND$ có:

Chung $\hat C$

$\widehat{COM}=\widehat{CND}(=90^o)$

$\to\Delta COM\sim\Delta CND(g.g)$

$\to \dfrac{CO}{CN}=\dfrac{CM}{CD}$

$\to CM\cdot CN=CO\cdot CD=R^2$ không đổi khi $M$ di chuyển