`a)` Ta có:

`\hat{BFH}+\hat{BDH}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{BFH};\hat{BDH}` ở vị trí đối nhau

`=>BFHD` nội tiếp

$\\$

`\hat{BFC}=\hat{BEC}=90°`

`=>` Hai đỉnh `F;E` cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông

`=> BFEC` nội tiếp

$\\$

`b)` Xét $∆BDH$ và $∆BEC$ có:

`\qquad \hat{B}` chung

`\qquad \hat{BDH}=\hat{BEC}=90°`

`=>∆BDH∽∆BEC` (g-g)

`=>{BD}/{BE}={BH}/{BC}`

`=>BD.BC=BH.BE` (đpcm)

$\\$

`c)` Ta có:

 `\hat{DAC}=\hat{EBC}` (cùng phụ `\hat{ACD})`

`\hat{DAC}=\hat{MBC}` (góc nội tiếp chắn cung $MC)$

`=>\hat{EBC}=\hat{MBC}`

`=>BD` là phân giác của `\hat{MBH}`

Mà $BD\perp MH$

`=>BD` vừa là phân giác và đường cao của `∆MBH`

`=>∆MBH` cân tại $B$

`=>BD` cũng là đường trung trực, trung tuyến của `∆MBH`

`=>D` là trung điểm $MH$ (đpcm)

$\\$

`d)` Gọi `I` là điểm đối xứng của `O` qua `BC` `(1)`

`=>BC` là đường trung trực $OI$

`=>IB=OB=R; IC=OC=R`

$\\$

Vì `BD` là trung trực của $MH$

`=>BC` là trung trực của `MH`

`=>H` và `M` đối xứng qua `BC` `(2)`

$\\$

Từ `(1);(2)=>IH` và `OM` đối xứng qua `BC`

`=>IH=OM=R` (hai đoạn thẳng đối xứng qua `1` đường thẳng thì chúng bằng nhau sgk8T1/85)

$\\$

`=>IB=IC=IH=R`

`=>` Đường tròn `(I;R)` ngoại tiếp $∆BHC$

`=>` Độ dài đường tròn ngoại tiếp $∆BHC$ là: `C=2πR`