`a`)$CM: MNCO$ là hình thang cân

+) $MA;MC$ là 2 tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại $M$

`=>MA=MC` và $OA=OC$

`=>OM` là đường trung trực của $AC$

`=>` $OM\perp {AC}$ tại $K \ (1)$  và $K$ là trung điểm $AC$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)

+) `A,B,C \in (O; {AB}/ 2)` `=>\hat{ACB}=90°`

`=>` $BC\perp {AC}$ tại $C \ (2)$ 

Từ `(1);(2)=>OM`//$BC$ `=>` $OM$//$CN$

`=>MNCO` là hình thang.

`OM`// `BC =>\hat{AOM}=\hat{OBN}` (đồng vị)

`=>`Dễ c/m $∆OAM=∆BON(g-c-g)$

`=>AM=ON`.

Mà `MA=MC` (2 tiếp tuyến cắt nhau)

`=>MC=ON`

Hình thang $MNCO$ có 2 đường chéo `MC=ON=>MNCO` là hình thang cân (đpcm).

`b)` $CM: KI // AB$

+) Áp dụng hệ quả định lý Talet vào `∆ABM` có $IH$//$MA$ (cùng $\perp {AB}$)

`=>{IH}/{MA}={BH}/{AB}\quad(3)`

+) Dễ c/m $∆CHB∽∆MAO(g-g)$

`=>{CH}/{MA}={BH}/{OA}={2BH}/{2OA}`

`=>{CH}/{MA}={2BH}/{AB}\quad(4)`

Từ $(3);(4)$`=>CH=2IH`

`=>I` là trung điểm $CH$

+) Xét $∆ACH$ có $K;I$ lần lượt là trung điểm $AC;CH$ `=>KI` là đường trung bình $∆ACH$

`=>KI` // `AH=>KI`//$AB(đpcm)$ 

`c)` CM: $PG\perp {QF}$

+) Dễ c/m $AECH$ là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

`=>AH=CE`

+) $FK$ là đường trung bình $∆AFC$

`=>FK=1/ 2 CE=1/ 2 AH= KI` và $FK$//$CE$//$AB$

Mà `KI`// `AB=>F;K;I` thẳng hàng và $K$ là trung điểm $FI$.

+) Dễ c/m được $∆AOK=∆CQK(g-c-g)$

`=>OK=QK=>K` là trung điểm $OQ$

`=>OFQI` là hình bình hành (2 đường chéo $FI;OQ$ cắt nhau tại trung điểm $K$ của mỗi đường)

`=>QF`//$IO\quad(5)$

+) $GI$ là đường trung bình của $∆ACH$

`=>GI` // $AC$`=>GI` $\perp {OM}$ (Vì $AC\perp {OM}$)

`=>GI`$\perp {OP}$

+) Xét $∆GIP$ có:

*$GH\perp {IP}$ (vì $AB\perp {CH}$)

*$OP \perp {GI}$ (c/m trên)

*$GH;OP$ cắt nhau tại $O$

`=>O` là trực tâm $∆GIP$

`=>PG` $\perp {OI}\quad(6)$

Từ $(5);(6)$ suy ra: $PG\perp {QF}(đpcm)$