`c)` Bổ sung đề `AQ` cắt `BC` tại $I$

`AQ` là đường kính `(O)`

`=>\hat{ABQ}=\hat{ACQ}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=> CQ`$\perp AC$

Mà $BE\perp AC$

`=>BE`//$CQ$

`=>\hat{EBC}=\hat{BCQ}` (hai góc so le trong)

Ta có:

 `\hat{HAE}=\hat{EBC}` (cùng phụ `\hat{ACD})`

`\hat{QAB}=\hat{BCQ}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BQ}` (cùng chắn cung `BQ)`

`=>\hat{HAE}=\hat{QAB}`

Ta lại có `\hat{AEH}=\hat{ABQ}=90°`

`=>∆HAE∽∆QAB` (g-g)

`=>{AH}/{AQ}={AE}/{AB}` $(1)$

$\\$

Ta có:

`\hat{BFC}=\hat{BEC}=90°`

`=>` Hai đỉnh `F;E` cùng nhìn cạnh `BC` dưới góc vuông

`=>BFEC` nội tiếp

`=>\hat{AEP}=\hat{FBC}=\hat{ABI}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

`\hat{QAB}=\hat{BCQ}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BQ}` (cùng chắn cung `BQ)`

Mà `\hat{BCQ}=\hat{DAC}` (cùng phụ `\hat{ACD})`

`=>\hat{QAB}=\hat{DAC}`

`=>\hat{IAB}=\hat{PAE}`

$\\$

Xét $∆AIB$ và $∆APE$ có:

`\qquad \hat{ABI}=\hat{AEP}`  (c/m trên)

`\qquad \hat{IAB}=\hat{PAE}` (c/m trên)

`=>∆AIB∽∆APE` (g-g)

`=>{AI}/{AP}={AB}/{AE}`

`=>{AP}/{AI}={AE}/{AB}` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>{AP}/{AI}={AH}/{AQ}`

`=>{AP}/{AH}={AI}/{AQ}`

`=>PI`//$HQ$ (định lý Talet đảo) (đpcm)