Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Người ta ghi đề sai.

Với cùng điều kiện, nếu biểu thức là $P=\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+zx}+\dfrac{1}{z^2+xy}$ thì max là $\dfrac{1}{6}$ (đồng thời câu này khó hơn nhiều)

Muốn max là $\dfrac{1}{2}$ như đề thì biểu thức phải là $P=\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+zx}+\dfrac{z}{z^2+xy}$

Với dạng biểu thức thế này, tui khuyến nghị không xài cách đánh giá người ta sử dụng trong lời giải mà nên sử dụng cách đánh giá bằng AM-GM như sau:

Với cùng điều kiện $x^2+y^2+z^2=xyz$

- Trong trường hợp biểu thức là $P=\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+zx}+\dfrac{1}{z^2+xy}$

Ta có: $x^2+yz \geq 2\sqrt{x^2yz} =2\sqrt{xy.xz} \Rightarrow \dfrac{1}{x^2+yz} \leq \dfrac{1}{2\sqrt{xy.xz}} \leq \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz} \right)$

(Cái biến đổi cuối sử dụng AM-GM $\sqrt{ab} \leq \dfrac{1}{2}(a+b)$ trong đó $a=\sqrt{\dfrac{1}{xy}}$ và $b=\sqrt{\dfrac{1}{xz}}$ thôi)

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có:

$\dfrac{1}{y^2+zx} \leq \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz} \right)$

$\dfrac{1}{z^2+xy} \leq \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz} \right)$

Cộng vế với vế:

$P \leq \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}\right)$

$⇔P \leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx} \right)=\dfrac{x+y+z}{2xyz}$ (1)

Mặt khác ta có:

$(x+y+z)^3 \geq 27xyz =27(x^2+y^2+z^2) \geq 9(x+y+z)^2$

$⇒x+y+z \geq 9$

$⇒3(x+y+z)=\dfrac{9(x+y+z)}{3} \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3} \leq x^2+y^2+z^2=xyz$

$⇒x+y+z \leq \dfrac{xyz}{3}$ (2)

Từ (1), (2):

$⇒P \leq \dfrac{\dfrac{xyz}{3}}{2xyz}=\dfrac{1}{6}$

Trong trường hợp biểu thức $P=\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+zx}+\dfrac{z}{z^2+xy}$

Vẫn sử dụng đánh giá bằng AM-GM như trên:

$x^2+yz \leq 2\sqrt{x^2yz}=2x\sqrt{yz}$

$⇒\dfrac{x}{x^2+yz} \leq \dfrac{x}{2x\sqrt{yz}}=\dfrac{1}{2\sqrt{yz}} \leq \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)$

Hoàn toàn tương tự:

$\dfrac{y}{y^2+zx} \leq \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)$

$\dfrac{z}{z^2+xy} \leq \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$

Cộng vế với vế:

$⇒P \leq \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$

$⇔P \leq \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{xy+yz+zx}{2xyz}$

Mà $xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2$

$⇒P \leq \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}=\dfrac{xyz}{2xyz}=\dfrac{1}{2}$

Tui thích kiểu đánh giá AM-GM này hơn, đơn giản dễ dàng không cầu kì phức tạp như bài giải kia.