a) Vì $BI$ là phân giác góc $B$

$ \Rightarrow \widehat {ABI} = \widehat {IBH}$

Xét $\Delta ABI $ và $ \Delta HBI$, ta có:

$ \widehat {BAI} = \widehat {AHI}( = {90^ \circ }) \\ \widehat {ABI} = \widehat {IBH} \\ $

$BI$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta ABI = \Delta HBI$

$ \Rightarrow BA = BH$(hai cạnh tương ứng)

Nên $B$ cách đều hai điểm $A$ và $H$(1)

$\Delta ABI = \Delta HBI$

$ \Rightarrow AI = IH$

Nên $ I$ cách đều hai điểm $A$ và $H$(2)

Từ (1) và (2) $BI$ là trung trực của $AH$

b)$ \widehat {ABI} < \widehat {BAI} = \widehat {IHC} = {90^ \circ } \\\ \ \Rightarrow AI < IC $( cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn)

c) Xét $\Delta KBH$ và $ \Delta CBA$, ta có:

$ \widehat {BHK} = \widehat {BAC}( = {90^ \circ }) \\ AB = BH \\ $

$\widehat B$ là góc chung

$ \Rightarrow \Delta KBH = \Delta CBA$

$ \Rightarrow BK = BC \\ \Rightarrow AK = HC \\ $

Xét $\Delta IAK $ và $ \Delta IHC$, ta có:

$ \widehat {IAK} = \widehat {IHC}( = {90^ \circ }) \\ AK = HC \\ \widehat {AIK} = \widehat {HIC} \\ $

$\Rightarrow IK = IC$

d) Xét $ \Delta KBC$, ta có:

$AC \bot BK$ $ \Rightarrow AC$ là đường cao của tam giác

$ KH \bot BC$ $\Rightarrow KH$ là đường cao của tma giác

Mà $KH \cap AC = I$

$\Rightarrow BI$ là đường cao của tam giác

$\Rightarrow BI \bot KC$

$\text{a, xét ΔABI và ΔHBI có:}$

$\text{∠BAI = ∠BHI = $90^{0}$ }$

$\text{BI cạnh chung }$

$\text{∠ABI = ∠HBI (BI là p/g)}$

$\text{⇒ΔABI = ΔHBI (ch-gn)}$

$\text{⇒ AB = HB(tương ứng)}$

$\text{⇒ ΔABH cân tại B mà BI là tia p/g của ∠ABH }$

$\text{⇒ BI là đường trung trực của ΔABH}$

-----------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{b, có : ΔABI = ΔHBI(cmt) ⇒ AI = HI (tương ứng) }$    <1>

$\text{xét ΔIHC(∠IHC = $90^{0}$ ) có :}$

$\text{IC là cạnh huyền ⇒ IC >HI }$              <2>

$\text{Từ <1> và <2> suy ra IC >AI }$

------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{c, Xét ΔKAI và ΔCHI có:}$

$\text{∠IAK = ∠IHC = $90^{0}$ }$

$\text{AI = HI (cmt) }$

$\text{∠AIK = ∠HIC(đối đỉnh)}$

$\text{⇒ΔKAI = ΔCHI (cgv - gnk)}$

$\text{⇒IK = IC(tương ứng)}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{d, có : BA = BH(cmt) mà AK = HC(ΔKAI = ΔCHI) }$

$\text{⇒BA + AK = BH + HC }$

$\text{⇒ BK = BC⇒ ΔBKC cân tại B mà BI là đường p/g của ∠KBC }$

$\text{⇒ BI là đường trung trực của ΔBKC ⇒ BI ⊥KC}$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{KIẾN THỨC CẦN ÁP DỤNG :}$

$\text{+ Cách Cm 2 tam giác bằng nhau }$

$\text{+ T/C các đường trong tam giác cân}$

$\text{+ Cách chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau}$