Đáp án và giải thích các bước giải:

Kẻ đường cao $AH$ trong ${ΔABC}$ 

$S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC$

$S_{ΔBAD}=\dfrac{1}{2}.AH.BD$

$⇒\dfrac{S_{ΔABC}}{S_{ΔBAD}}=\dfrac{\frac{1}{2}.AH.BC}{\frac{1}{2}.AH.BD}=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{BC}{\frac{1}{3}.BC}=3$ 

$⇒\dfrac{S_{ΔABC}}{3}=S_{ΔBAD}(1)$

Trong $ΔMDC$ kẻ đường cao $ME$

$⇒S_{ΔMDC}=\dfrac{1}{2}.ME.DC$

Trong $ΔADH$ ta có:

$M$ là trung điểm của $AD$ 

$ME//AH(⊥BC)$

$⇒ME=\dfrac{1}{2}AH$

Có $S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.2ME.BC=ME.BC$

$⇒\dfrac{S_{ΔABC}}{S_{ΔDMC}}=\dfrac{ME.BC}{\frac{1}{2}.ME.DC}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}.\dfrac{BC}{DC}=2.\dfrac{3}{2}=3$

$⇒\dfrac{S_{ΔABC}}{3}=S_{ΔDMC}(2)$

Lại có:

$S_{ΔAMC}=S_{ΔABC}-S_{ΔADB}-S_{ΔMDC}$ 

$⇒S_{ΔAMC}=S_{ΔABC}-\dfrac{S_{ΔABC}}{3}-\dfrac{S_{ΔABC}}{3}$

$⇒S_{ΔAMC}=\dfrac{S_{ΔAMC}}{3}(3)$

Từ $(1),(2),(3)$

$S_{ABD}=S_{ΔDMC}=S_{ΔACM}(ĐPCM)$