1) TXĐ: $D= R$

Ta có:

$\begin{array}{l} (2x - 1)({x^3} - 1) \ge 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 \ge 0\\ {x^3} - 1 \ge 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 \le 0\\ {x^3} - 1 \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ x \ge 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{1}{2}\\ x \le 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 1\\ x \le \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty;\dfrac{1}{2}]\cup [1;+\infty)$

2) TXĐ: $D = R\backslash \{  \pm 1\} $

Ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{x + 1}} \ge \dfrac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\\  \Leftrightarrow \dfrac{{{{(x - 1)}^2} - (x + 1)}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}(x-1)^2} \ge 0\\\text{ (do }(x-1)^2>0 \forall x\text{ nên nhân 2 vế với nó bất phương trình không đổi dấu})\\  \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}} \ge 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3x \ge 0\\ x + 1 > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3x \le 0\\ x + 1 < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x \ge 3\\ x \le 0 \end{array} \right.\\ x >  - 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 3\\ x <  - 1 \end{array} \right.(vn) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  - 1 < x \le 0\\ x \ge 3 \end{array} \right. \end{array}$

Kết hợp với TXĐ ta có tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-1;0]\cup [3;+\infty)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-1;0]\cup [3;+\infty)$