Gọi $AH$ là đường cao kẻ từ $A$

$\to AH = 12\, cm$

Từ $A$ kẻ đường thẳng song song $BD$ cắt $CD$ tại $E$

Ta có:

$AE//BD$ (cách dựng)

$AB//DE\quad (AB//CD)$

$\to ABDE$ là hình bình hành

$\to AE = BD = 15\, cm$

Ta cũng được: $AE//BD$

mà $BD\perp AC$

$\to AE\perp AC$

$\to ΔEAC$ vuông tại $A$

Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔEAC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AE^2} + \dfrac{1}{AC^2}$

$\to AC = \dfrac{AH.AE}{\sqrt{AE^2 - AH^2}} = \dfrac{12.15}{\sqrt{15^2 - 12^2}} = 20\, cm$

Ta được:

$S_{ABCD} = \dfrac12AC.BD = \dfrac12\cdot15\cdot 20 = 150\, cm^2$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Kẻ $BH⊥CD ⇒BH=12(cm)$

Từ B kẻ đường thẳng song song AC cắt CD kéo dài tại E

Do $BE//AC$, mà $AC⊥BD⇒BE⊥BD$

$⇒ΔDBE$ vuông tại B

Áp dụng Pitago cho tam giác vuông BHD:

$DH=\sqrt{BD^2-BH^2}=9(cm)$

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông DBE với đường cao BH:

$BD^2=DH.DE ⇒DE=\dfrac{BD^2}{DH}=25(cm)$

Mà $AC$ song song $BE$, $AB$ song song $CE$ nên $ABEC$ là hình bình hành

$⇒AB=CE$

$⇒AB+CD=CE+CD=DE$

$⇒S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}BH(AB+CD)=\dfrac{1}{2}BH.DE=150(cm^2)$