Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC$

   Mà $CD$ là đường kính của $(O)\to BD\perp BC$

$\to OA//BD$

b.Ta có $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$

Mà $\widehat{BAE}=\widehat{BAD}$

$\to\Delta ABE\sim\Delta ADB(g.g)$

$\to\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}$

$\to AB^2=AE.AD$

Ta có $\Delta ABO$ vuông tại $B$ vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

         $AO\perp BC\to BH\perp AO$

$\to AH.AO=AB^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to AH.AO=AE.AD$

c.Ta có $AH.AO=AE.AD\to\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}$

Mà $\widehat{EAH}=\widehat{DAO}$

$\to\Delta AEH\sim\Delta AOD(c.g.c)$

$\to \widehat{AHE}=\widehat{ADO}=\widehat{EDO}=\widehat{OED}$ vì $OE=OD$

d.Gọi $AO\cap (O)=I$

Vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)\to \widehat{ABI}=\widehat{ICB}=\widehat{IBC}$

$\to BI$ là phân giác $\widehat{ABC}$

Tương tự $CI$ là phân giác $\widehat{ACB}$

$\to I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

Mà $AO\perp BC\to IH\perp BC$

$\to IH=r$

$\to OH=OI-IH=R-r$

Ta cso $OA//BD\to OH//BD$

Mà $O$ là trung điểm $CD\to OH$ là đường trung bình $\Delta BCD\to BD=2OH=2(R-r)$