Đáp án:

 $x=3$

Giải thích các bước giải:

ĐK: $x \geq -\dfrac{3}{2}$

Cách 1: Bình phương

Ptrinh đã cho tương đương vs

$\sqrt{x+13} - \sqrt{2x+3} = 1$

$\Leftrightarrow 3x + 16 - 2\sqrt{(x+13)(2x+3)} = 1$

$\Leftrightarrow 3x + 15 = 2\sqrt{2x^2 + 29x + 39}$

$\Leftrightarrow 9x^2 + 90x + 225 = 8x^2+116x + 156$

$\Leftrightarrow x^2 - 26x +69 = 0$

$\Leftrightarrow (x-3)(x-23) = 0$

Vậy $x = 3$ hoặc $x = 23$

Thử lại ta thấy chỉ có $x = 3$ là thỏa mãn phương trình.

Vậy $S = \{3\}$.

Cách 2: Đặt ẩn phụ

- Đặt 1 ẩn phụ

Đặt $t = \sqrt{x + 13}$, $t \geq 0$ và ta có

$t^2 = x + 13 \Leftrightarrow x = t^2 - 13$

Khi đó, ptrinh trở thành

$t = 1 + \sqrt{2(t^2-13) + 3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2t^2 -23} = t-1$

ĐK: $t \geq 1$. Bình phương 2 vế ta có

$2t^2 - 23 = t^2 - 2t + 1$

$\Leftrightarrow t^2 + 2t -24 = 0$

$\Leftrightarrow (t-4)(t+6) = 0$

$\Leftrightarrow t = 4$ hoặc $t = -6$ (loại)
Từ đó suy ra

$\sqrt{x+13} = 4$

$\Leftrightarrow x + 13 = 16$

$\Leftrightarrow x = 3$ (TM)

Vậy $S = \{3\}$.

- Đặt 2 ẩn phụ

Đặt $a = \sqrt{2x+3}, b = \sqrt{x + 13}$ ($a, b \geq 0$). Khi đó ta có

$a^2 - 2b^2 = 2x + 3 - 2(x + 13) = -23$

Vậy ta có hệ

$\begin{cases} a + 1 = b\\ a^2 - 2b^2 = -23 \end{cases}$

Thế ptrinh đầu vào ptrinh sau ta có

$a^2 - 2(a+1)^2 = -23$

$\Leftrightarrow -a^2-4a +21 = 0$

$\Leftrightarrow a^2 + 4a - 21 = 0$

$\Leftrightarrow (a-3)(a+7) = 0$

$\Leftrightarrow a = 3$ hoặc $a = -7$ (loại)
Từ đó suy ra $b = 4$. Vậy ta có

$\begin{cases} \sqrt{2x + 3} = 3\\ \sqrt{x+13} = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x + 3 = 9\\ x + 13 = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = 3$

Vậy $S = \{3\}$.

Cách 3: Trục căn thức

Ptrinh đã cho tương đương vs

$\sqrt{x+13} - 4 = \sqrt{2x+3} - 3$

$\Leftrightarrow \dfrac{x - 3}{\sqrt{x+13} + 4} = \dfrac{2x - 6}{\sqrt{2x+3} + 3}$

$\Leftrightarrow x - 3 = 0$ hoặc $\dfrac{1}{\sqrt{x+13} + 4} = \dfrac{2}{\sqrt{2x+3} + 3}$

Với trường hợp đầu ta có $x = 3$ (TMĐK).

Ta xét trường hợp sau tương đương vs

$\sqrt{2x+3} + 3 = 2\sqrt{x+13} + 8$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+52} = 5$

$\Leftrightarrow 6x + 55 - 4\sqrt{(x+13)(2x+3)} = 25$

$\Leftrightarrow 3x + 15 = 2\sqrt{2x^2 + 29x + 39}$

Ptrinh này đã giải ở trên và có nghiệm $x = 3$ hoặc $x = 23$. Thế vào ptrinh ta ko nhận nghiệm $x = 23$.

Vậy $S = \{3\}$.

Cách 4: Xét tính đồng biến nghịch biến

Đặt $f(x) = \sqrt{x+13}$, $g(x) = \sqrt{2x+3} + 1$

Với $x \geq -\dfrac{3}{2}$, ta có hàm $f(x)$ và $g(x)$ đồng biến trên $\left[ -\dfrac{3}{2}, +\infty \right)$.

Ta thấy ptrinh trên nhận $x = 3$ là nghiệm.

Nếu $x < 3$ thì ta có $VT < \sqrt{3 + 13} = 4$ và nếu $x > 3$ thì $VP > \sqrt{2.3 + 3} + 1 = 4$

Do đó ptrinh có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Cách 5: