Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHB,\Delta AKC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AHB}=\widehat{AKC}(=90^o)$

$\to \Delta AHB\sim\Delta AKC(g.g)$

$\to \dfrac{AH}{AK}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to AK\cdot AB=AH\cdot AC$

b.Từ câu a $\to \dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AH}{AB}$

Mà $\widehat{HAK}=\widehat{BAC}$

$\to \Delta AHK\sim\Delta ABC(c.g.c)$

c.Ta có: $BH\perp AC, CK\perp AB, BH\cap CK=I$

$\to I$ là trực tâm $\Delta ABC\to AI\perp BC$

Gọi $AI\cap BC=M\to AI\perp BC=M$

Hoàn toàn tương tự câu b chứng minh được $\Delta MHC\sim\Delta ABC$

Do $\Delta AHK\sim\Delta ABC$

$\to \Delta MHC\sim\Delta AHK$

$\to \widehat{MHC}=\widehat{AHK}$

$\to 90^o-\widehat{MHC}=90^o-\widehat{AHK}$

$\to \widehat{KHB}=\widehat{BHM}$

$\to HB$ là phân giác $\widehat{KHM}$

$\to \widehat{MHC}=\widehat{AHK}$

d.Xét $\Delta BMI,\Delta BCH$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BMI}=\widehat{BHC}(=90^o)$

$\to \Delta BMI\sim\Delta BHC(g.g)$

$\to \dfrac{BM}{BH}=\dfrac{BI}{BC}$

$\to BI\cdot BH=BM\cdot BC$

Tương tự $CI\cdot CK=CM\cdot CB$

Cộng vế với vế

$\to BI\cdot BH+CI\cdot CK=BC^2$