Đáp án:

 `a)`

Theo bài ra, ta có `I` là trung điểm ` AB ` ; `AM` là đường trung tuyến của ` ΔABC` nên `M` là trung  điểm `BC`

` => IM` là đường trung bình của ` ΔBAC`

` => IM //// BC `  Và ` IM = 1/2 AC` ( tính chất đường trung bình )

Lại có ` N` đối xứng với `M` qua `I` nên ` IM = IN = 1/2 AC`

` => MN = IM + IN = 1/2 *AC + 1/2* AC = AC`

` IM //// AC` nên `MN //// AC`

Xét tứ giác ` ANMC` có ` MN //// AC ; MN = AC` nên tứ giác `ANMC` là hình bình hành

Vì  tứ giác `ANMC`  là hình bình hành nên ` AN //// CM `

` => AN //// BM`

Mà ` AN = CM` ( tính chất hình bình hành ) ; ` CM = BM` ( `M` là trung điểm `BC` )

` => AN = BM`

Xét tứ giác ` AMBN` có `AN ////BM ; AN = BM` nên là hình bình hành

Lại có ` Δ ABC` vuông tại `A => BA ⊥ AC ;` Mà ` IM //// AC => IM ⊥ AB`

` => MN ⊥ AB `

Hình bình hành ` AMBN` có hai đường chéo ` MN ⊥ AB` nên là hình thoi

Vậy ` ANMC` là hình bình hành ; ` AMBN` là hình thoi

`b)` 

Ta có ` AC = 6 cm`

Mà `MN =AC ` ( chứng minh câu a ) ` => MN  6cm`

Diện tích hình thoi ` AMBN` là

` S_{AMBN} = 1/2 * MN * AB = 1/2 * 6 * 4 = 12 (cm)`

( Công thức tính diện tích hình thoi : `S =` đường chéo `1  \times` đường chéo `2 \times 1/2` )

`c)`

Để `AMBN` là hình vuông thì hai đường chéo ` AB = MN` ( dấu hiệu nhận biết hình vuông )

Mà `MN = AC => AB = AC`

` => Δ ABC` cân tại `A` ; Mà ` Δ ABC` là tam giác vuông

` => Δ ABC` vuông cân tại `A`

Vậy để ` AMBN` là hình vuông thì ` Δ ABC` vuông cân tại `A`