Đáp án:

 a) \(\left\{ \begin{array}{l}
m = \dfrac{5}{2}\\
n = \dfrac{5}{2}
\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

 a) Do đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(-1:2) và B(3:4)

⇒ Ta có hệ phương trình

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
2 =  - \left( {m - 2} \right) + n\\
4 = 3\left( {m - 2} \right) + n
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
 - m + n = 0\\
3m + n = 10
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m = \dfrac{5}{2}\\
n = \dfrac{5}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

b) Do đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

⇒ Thay x=0 và y=3 vào (d) ta được

\(\begin{array}{l}
 \to 3 = \left( {m - 2} \right).0 + n\\
 \to n = 3
\end{array}\)

Do đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5

⇒ Thay x=5 và y=0 vào (d) ta được

\(\begin{array}{l}
 \to 0 = \left( {m - 2} \right).5 + 3\\
 \to m = \dfrac{7}{5}
\end{array}\)

c) Do đường thẳng (d) cắt đường thẳng 2y +x -3 =0 hay \(y = \dfrac{{3 - x}}{2}\) tại một điểm trên trục tung

⇒ Thay x=0 vào đương thẳng \(y = \dfrac{{3 - x}}{2}\) ta được

\(y = \dfrac{{3 - 0}}{2} = \dfrac{3}{2}\)

Thay x=0 và \(y = \dfrac{3}{2}\) vào (d) ta được

\(\begin{array}{l}
\dfrac{3}{2} = \left( {m - 2} \right).0 + n\\
 \to n = \dfrac{3}{2}
\end{array}\)

Mà (d) đi qua (1;0)

⇒ Thay x=1 và y=0 vào (d) ta được

\(\begin{array}{l}
0 = \left( {m - 2} \right).1 + \dfrac{3}{2}\\
 \to m = \dfrac{1}{2}
\end{array}\)

d) Do (d) song song với đường thẳng \(y = \dfrac{{3x - 1}}{2}\)

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m - 2 = \dfrac{3}{2}\\
n \ne  - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m = \dfrac{7}{2}\\
n \ne  - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Mà (d) đi qua (0;3)

⇒ Thay x=0 và y=3 vào (d) ta được

\(\begin{array}{l}
3 = \left( {m - 2} \right).0 + n\\
 \to n = 3
\end{array}\)

e) Do (d) trùng với đường thẳng \(y = 2x - 3\)

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m - 2 = 2\\
n =  - 3
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m = 4\\
n =  - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)