Giải thích các bước giải:

a.Ta có $D,M$ đối xứng qua $AB\to DM\perp AB\to DE\perp AB$

Tương tự $DF\perp AC$

Mà $AB\perp AC$

$\to AEDF$ là hình chữ nhật

b.Ta có $DE\perp AB\to DE//AC$ vì $AB\perp AC$

Mà $D$ là trung điểm $BC$

$\to DE$ là đường trung bình $\Delta ABC\to E$ là trung điểm $AB$

$\to DM\perp AB=E$ là trung điểm mỗi đường

$\to AMBD$ là hình thoi

$\to AB$ là phân giác $\widehat{MAD}, AM=AD$

Tương tự $ADCN$ là hình thoi 

$\to AC$ là phân giác $\widehat{DAN}, AN=AD$

$\to AM=AN$ và
$\widehat{MAN}=\widehat{MAD}+\widehat{DAN}=2\widehat{BAD}+2\widehat{DAC}=2(\widehat{BAD}+\widehat{DAC})=2\widehat{BAC}=180^o$

$\to M,A,N$ thẳng hàng

$\to M,N$ đối xứng qua $A$

c.Để $AEDF$ là hình vuông

$\to AD$ là phân giác $\widehat{EAF}\to AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to \Delta ABC$ vuông cân tại $A$

d.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A,D$ là trung điểm $BC$

$\to DA=DB=DC=\dfrac12BC\to BC=2AD=12$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AH.CB=15$