Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Giả sử ta có $\Delta ABC$ có 3 đường cao $AD,BE,CF$ như hình vẽ:

Chu vi $\Delta ABC=42\left( cm \right)$ $\to$$AB+AC+BC=42$

Bởi vì 3 đường cao của tam giác có 3 cạnh lần lượt là $3,5,6$ nên ta cho 3 đường cao đó các cạnh như sau:

$AD=3\left( cm \right)$

$BE=5\left( cm \right)$

$CF=6\left( cm \right)$

Ta có công thức tính diện tích một tam giác bất kì đó là: đường cao nhân với cạnh tương ứng:

${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AD.BC=\frac{1}{2}BE.AC=\frac{1}{2}CF.AB$

$\to AD.BC=BE.AC=CF.AB=2{{S}_{\Delta ABC}}$

$\bullet \,\,AD.BC=BE.AC$

$\to \frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BE}=\frac{3}{5}$

$\bullet \,\,AD.BC=CF.AB$

$\to \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Như vậy ta có các kết quả sau:

$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}$$\to \frac{AC}{3}=\frac{BC}{5}$$\to \frac{AC}{6}=\frac{BC}{10}$

$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$$\to \frac{AB}{1}=\frac{BC}{2}$$\to \frac{AB}{5}=\frac{BC}{10}$

Vậy $\frac{AC}{6}=\frac{BC}{10}=\frac{AB}{5}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{AC}{6}=\frac{BC}{10}=\frac{AB}{5}$$=\frac{AC+BC+AB}{6+10+5}=\frac{42}{21}=2$

$\frac{AC}{6}=2\to AC=2.6=12\left( cm \right)$

$\frac{BC}{10}=2\to BC=2.10=20\left( cm \right)$

$\frac{AB}{5}=2\to AB=2.5=10\left( cm \right)$

Kết luận:

Vậy chiều dài mỗi cạnh của tam giác $ABC$ là $10\left( cm \right)$,$12\left( cm \right)$ ,$20\left( cm \right)$