Đáp án:

Vì `p > 3` nên `p` có dạng là `3k + 1 , 3k + 2 (k \in N)`

Với `p = 3k + 1 -> 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 vdots 3`

`->` Là hợp số (loại)

`-> p = 3k + 2`

`-> 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9  vdots 3`

Vậy `4p + 1` là hợp số

Giải:

Cách 1: Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: P chia 3 dư 1 thì 2P + 1 chia 3 dư 0

=> Loại.

Trường hợp 2: P chia hết cho 3 thì P = 3 ( vì P là số nguyên tố)

Nhưng theo đề bài, P >3

=> Loại.

=> P chia 3 dư 2.

Khi đó, 4P + 1 chia hết cho 3 ( cùng dư với 2*4+1=9 và 9 chia hết cho 3).

Vậy theo mọi trường hợp, 4P + 1 luôn chia hết cho 3.

=> 4P + 1 là hợp số.

Cách 2: Ta có: P luôn khác dư với 2P + 1 và 4P + 1 khi chia hết cho 3

=> Trong 3 số này có 1 số chia hết cho 3.

Nếu P chia hết cho 3 thì P = 3 mà P > 3 => Vô lý.

Nếu 2P + 1 chia hết cho 3 thì 2P chia 3 dư 2 => P chia 3 dư 1.

Khi đó, 4P + 1 phải chia hết cho 3 vì khác dư với P và 2P + 1 nên 4P + 1 là hợp số.

Nếu 4P + 1 chia hết cho 3 => 4P + 1 là hợp số.

=> 4P + 1 luôn luôn là hợp số.