`1)` `A(2;-1); B(1;2); C(7;4)`

`=>\vec{AB}=(-1;3);\vec{AC}=(5;5)`

`\vec{BC}=(6;2)`

`=>AB=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}`

`AC=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}`

`BC=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}`

*Chu vi `∆ABC` là:

`AB+AC+BC`

`=\sqrt{10}+5\sqrt{10}+2\sqrt{10}=8\sqrt{10}` (đvđd)

Ta có:

`AB^2+BC^2=10+(2\sqrt{10})^2=50=(5\sqrt{2})^2=AC^2`

`=>∆ABC` vuông tại `B` (định lý Pytago đảo)

`S_{∆ABC}=1/2 .AB.BC`

`=1/2 .\sqrt{10}.2\sqrt{10}=10` (đvdt)

Vậy diện tích `∆ABC` là `10` (đvdt)

`2)` Gọi `M(x;y)`

`=>\vec{MA}=(2-x;-1-y)`

`\vec{BM}=(x-1;y-2);\vec{AC}=(5;5)`

Ta có: `2\vec{MA}+3\vec{BM}=\vec{AC}`

$⇔\begin{cases}2(2-x)+3(x-1)=5\\2(-1-y)+3(y-2)=5\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x+1=5\\y-8=5\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x=4\\y=13\end{cases}$

Vậy `M(4;13)`

`3`) `B(1;2); C(7;4); O(0;0)`

Gọi `H(x;y)` là trực tâm `∆OBC`

Ta có:

`\vec{BH}=(x-1;y-2);\vec{OC}=(7;4)`

`\vec{CH}=(x-7;y-4);\vec{OB}=(1;2)`

Vì `H` là trực tâm `∆OBC` nên:

`\vec{BH}.\vec{OC}=0`

`\vec{CH}.\vec{OB}=0`

$⇔\begin{cases}7(x-1)+4(y-2)=0\\1(x-7)+2(y-4)=0\end{cases}$

$⇔\begin{cases}7x+4y=15\\x+2y=15\end{cases}$ $⇔\begin{cases}7x+4y=15\\2x+4y=30\end{cases}$ $⇔\begin{cases}5x=15-30=-15\\y=\dfrac{15-x}{2}\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x=-3\\y=\dfrac{15+3}{2}=9\end{cases}$

Vậy tọa độ trực tâm `∆OBC` là `H(-3;9)`