Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Trước hết ta chứng minh BĐT sau:

Với các số thực không âm $a;b$ ta có: $\sqrt{a}+\sqrt{b} \geq \sqrt{a+b}$

Thật vậy, bình phương 2 vế ta được:

$a+b+2\sqrt{ab} \geq a+b⇔2\sqrt{ab} \geq 0$ (luôn đúng)

Quay lại bài toán:

ĐKXĐ: $\left[ \begin{array}{l}x\geq 0\\x \leq -\dfrac{2}{3}\end{array} \right.$

Phương trình tương đương:

$\sqrt{3x^2+2x}-\sqrt{3x^2-2x+1}=4x-1$

$⇔\dfrac{(3x^2+2x)-(3x^2-2x+1)}{\sqrt{3x^2+2x}+\sqrt{3x^2-2x+1}}=4x-1$

$⇔\dfrac{4x-1}{\sqrt{3x^2+2x}+\sqrt{3x^2-2x+1}}=4x-1$

$⇔\left[ \begin{array}{l}4x-1=0\\\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+2x}+\sqrt{3x^2-2x+1}}=1\end{array} \right. $

$⇔\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{1}{4}\\\sqrt{3x^2+2x}+\sqrt{3x^2-2x+1}=1 (1)\end{array} \right. $

Xét (1):

Ta có:

$1=\sqrt{3x^2+2x}+\sqrt{3x^2-2x+1} \geq \sqrt{3x^2+2x+3x^2-2x+1}=\sqrt{6x^2+1} \geq 1$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=0$

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm: $\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{1}{4}\\x=0\end{array} \right.$

`D = (-infty; -2/3] cup [0; +infty)`

`sqrt{3x^2 - 2x + 1} + 4x = sqrt{3x^2 + 2x} + 1`

`-> sqrt{3x^2 - 2x + 1} - sqrt{3x^2 + 2x} = 1 - 4x`

`-> (3x^2 - 2x + 1 - 3x^2 - 2x)/(\sqrt{3x^2 - 2x + 1} + \sqrt{3x^2 + 2x}) = 1 - 4x`

`-> (1 - 4x).(1)/(\sqrt{3x^2 - 2x + 1} + \sqrt{3x^2 + 2x}) = 1 - 4x`

`->`  \(\left[ \begin{array}{l}1 - 4x = 0\\\sqrt{3x^2 - 2x + 1} + \sqrt{3x^2 + 2x} = 1\end{array} \right.\) 

`->` \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4}\ (thoả\ mãn)\\\sqrt{3x^2 - 2x + 1} + \sqrt{3x^2 + 2x} = 1\ (*)\end{array} \right.\) 

`text{Giải}` $(*)$

`text{Ta có}`

`sqrt{3x^2 - 2x + 1} + sqrt{3x^2 + 2x} >= sqrt{3x^2 - 2x + 1 + 3x^2 + 2x} = sqrt{6x^2 + 1} >= 1`

`text{Dấu}` "`=`"`text{xảy ra}`

`-> 6x^2 = 0`

`-> x = 0` `(text{thoả mãn})`

`-> S = {0; 1/4}`