$\text{ a) Do tam giác ABC cân nên }$ `{(AB=AC),(\hat{ABC}=\hat{ACB}):}`

$\text{ Xét tam giác ABH và tam giác ACH ta có:}$

`Góc` `\hat{AHB}=\hat{AHC}=90^o` $\text{ (do AH là đường cao nên}$ AH `⊥` BC)

$\text{ AB=AC (chứng minh trên)}$

`\hat{ABC}=\hat{ACB}` $\text{ (chứng minh trên)}$

$\text{ => tam giác ABH = tam giác ACH (cạnh huyền-góc nhọn)}$

` => \hat{BAH} = \hat{CAH}` $\text{(2 góc tương ứng)           (1)}$

$\text{ BH=HC (2 cạnh tương ứng)                                          (2)}$

$\text{ Từ (2) => H là trung điểm BC;}$

`=> BH = HC = (BC)/2=6/2 = 3\ cm`

$\text{ Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:}$

$\text{ Theo định lý Pitago}$ `AH^2+BH^2=AB^2`

`<=> AH^2 + 3^2 = 5^2`

`<=> AH^2 = 5^2 - 3^2 = 16 = 4^2`

`=> AH = 4 (cm)`

$\text{ Vậy AH = 4 cm, BH = 3 cm;}$

---------------------------------------------------

$\text{ b) Theo bài ra ta có: AH là đường cao tam giác ABC (3)}$

$\text{ Theo (1)}$ `\hat{BAH} = \hat{CAH}`

$\text{ nên AH cũng là đường phân giác tam giác ABC (4)}$

$\text{ Theo (2) BH=HC}$

$\text{  => AH cũng là đường trung tuyến tam giác ABC (5)}$

$\text{ Từ (3) (4) (5) => AH đồng thời là vừa đường cao, vừa là}$

$\text{ đường phân giác, vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC (*)}$

$\text{ Theo bài ra G là trọng tâm của tam giác ABC nên G nằm}$

$\text{ trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A}$

$\text{ Theo (*) AH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao}$

$\text{ nên G nằm trên đường thẳng AH}$

$\text{ => 3 điểm A, G, H thẳng hàng.}$

---------------------------------------------------

$\text{ c) Xét tam giác CAG và tam giác BAG ta có:}$

$\text{ AG chung}$

`\hat{BAH} = \hat{CAH}` $\text{ (chứng minh trên)}$

$\text{ AB=AC (chứng minh trên)}$

$\text{ => tam giác CAG = tam giác BAG (cạnh-góc-cạnh)}$

`\hat{ABG} = \hat{ACG}`$\text{ (2 góc tương ứng)  }$