a, Xét ΔABC, có: AD=DB(do D là TĐ); BE=EC(do E là TĐ)

⇒ DE là đg TB ΔABC ⇒ DE= $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{2}$ 6 

Vậy DE=3cm

b, Xét t/g AEBF, có: AD=DB (cmt); ED=DF (do E và đx qua D)
⇒ AEBF là HBH ⇒ AE=EB

Xét ΔADE và ΔBDE, có:

         AD=DB (cmt)

         AE=EB (cmt)

         Cạnh DE chung

⇒ΔADE = ΔBDE (c.c.c) ⇒ ∠AED=∠BED ⇒ DE là tia PG ∠AEB

Vậy AEBF là Hình thoi

c, · Do AEBF là hình thoi (câu b) ⇒ AB⊥EF tại D ⇒ ∠ADE = 90*

Xét t/g AHED, có: ∠A=∠H=∠D=90* ⇒ AHED là hình chữ nhật

⇒ AE và DH cắt nhau tại TĐ O của AE và DH (1)

· Ta có DE= $\frac{1}{2}$ AC và DE=DF (câu b)

⇒DF=$\frac{1}{2}$ AC  ⇒ EF=AC

Lại có ∠A=∠D= 90* (cmt) mà chúng ở vị trí so le trong ⇒ AC//EF

Xét t/g ACEF, có: EF=AC (cmt); AC//EF (cmt)

⇒ ACEF là hình bình hành 

⇒ AE và CE cắt nhau tại TĐ O của AE và CF (2)

Từ (1) và (2) ⇒AE, DH, CF cắt nhau tại TĐ O của mỗi đg

Vậy AE, CF và DH đồng quy tại 1 điểm.

Gọi M là trung điểm của AE

Tam giác ABC có BE=CE, BD=AD => AC=2DE=EF

Tứ giác AFEC có EF//AC, EF=AC => AFEC là hbh

=>CF đi qua trung điểm M của AE(1)

Tứ giác ADEH có 3 góc vuông

=> ADEH là hình chữ nhật

=>DH đi qua trung điểm M của AE(2)

Từ (1),(2) => đpcm