Giải thích các bước giải:

a.Ta có $ABCD$ là hình vuông
$\to AB//CD, AB=CD$
Mà $M,P$ là trung điểm $AB,DC$
$\to AM//CP, AM=CP$
$\to AMCP$ là hình bình hành
$\to AP//CM$
Xét $\Delta ADP,\Delta DCN$ có:
$DP=\dfrac12CD=\dfrac12BC=CN$
$\widehat{ADP}=\widehat{DCN}=90^o$
$AD=CD$
$\to\Delta ADP=\Delta DCN(c.g.c)$
$\to\widehat{NDC}=\widehat{DAP}\to đpcm$

b.Từ câu a$\to\widehat{NDC}=\widehat{DAP}$
$\to\widehat{HDP}=\widehat{DAP}$
Mà $\widehat{DPH}=\widehat{APD}$
$\to\Delta PDH\sim\Delta PAD(g.g)$
$\to\widehat{PHD}=\widehat{PDA}=90^o$ 

$\to AP\perp DG$

Ta có $AP//CM\to PH//CG$

Mà $P$ là trung điểm $CD$

$\to PH$ là đường trung bình $\Delta DCG\to H$ là trung điểm $DG$

Do $AP\perp DG=H\to AP$ là trung trực của $DG$

$\to AD=AG$

c.Chứng minh tương tự câu b

$\to CM\perp DN,DM\perp BQ, AH\perp BQ$

$\to EFGH$ là hình chữ nhật

Xét $\Delta ADH,\Delta DCG$ có:

$\widehat{AHD}=\widehat{DGC}=90^o$

$AD=CD$

$\widehat{DAH}=\widehat{DAP}=\widehat{NDC}=\widehat{GDC}$

$\to\Delta ADH=\Delta DCG$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AH=DG$

Tương tự câu b

$\to E$ là trung điểm $AH$

$\to 2EH=2GH\to EH=HG$

$\to EFGH$ là hình vuông

d.Ta có: $AB=8\to AD=CD=CB=8$

Mà $N$ là trung điểm $BC\to NC=\dfrac12BC=4$

$\to DN=\sqrt{CD^2+NC^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$

Xét $\Delta DHP,\Delta DCN$ có:

Chung $\hat D$

$\widehat{DHP}=\widehat{DCN}=90^o$

$\to\Delta DHP\sim\Delta DCN(g.g)$

$\to \dfrac{S_{DHP}}{S_{DCN}}=(\dfrac{DP}{DN})^2=(\dfrac{\dfrac12DC}{DN})^2=(\dfrac{\dfrac12\cdot 8}{4\sqrt{5}})^2=\dfrac15$

$\to S_{DHP}=\dfrac15S_{DCN}$

$\to S_{DHP}=\dfrac15\cdot \dfrac12CD\cdot CN$

$\to S_{DHP}=\dfrac15\cdot \dfrac12\cdot 8\cdot 4$

$\to S_{DHP}=\dfrac{16}5$