Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Lâu rồi mới thấy pa này đăng 1 đề bài không bị... thiếu (´｡• ᵕ •｡`)

Do vai trò của $a;b;c$ là hoàn toàn như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử $a>b>c$

$⇒\begin{cases}a-b> 0\\b-c>0\\\end{cases}$

Áp dụng $x^2+y^2 \geq \dfrac{1}{2}(x+y)^2$:

$\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2} \geq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c} \right)^2 \geq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{a-b+b-c} \right)^2=\dfrac{8}{(a-c)^2}$

Lại có:

$a^2+b^2+c^2 \geq a^2+c^2=\dfrac{1}{2}(a+c)^2+\dfrac{1}{2}(a-c)^2 \geq \dfrac{1}{2}(a-c)^2$

Từ đó ta có:

$VT \geq \dfrac{1}{2}(a-c)^2\left( \dfrac{8}{(a-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}\right)=\dfrac{1}{2}(a-c)^2\left( \dfrac{8}{(a-c)^2}+\dfrac{1}{(a-c)^2}\right)=\dfrac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases}b=0\\a+c=0\\\end{cases}$ và các hoán vị của chúng.

Dậy sớm học bài mà buồn ngủ dễ sợ, chắc ngủ tiếp quá (๑˃ᴗ˂)

Đáp án + giải thích các bước giải:

Ta có:

`a^2+b^2+c^2=((a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/3>=((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/3`

`->(a^2+b^2+c^2)[1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2]>=1/3 [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2][1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2]`

Không mất tính tổng quát, giả sử `a>b>c`

Đặt `x=a-b;y=b-c->-x-y=-a+b-b+c=c-a (x,y>0)`

`->[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2][1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2]=[x^2+y^2+(-x-y)^2][1/x^2+1/y^2+1/(-x-y)^2]`

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 

`2(x^2+y^2)>=(x+y)^2>=4xy` 

$\\$

`->` \begin{cases} x^2+y^2\ge\dfrac{(x+y)^2}{2} \\ xy\le\dfrac{(x+y)^2}{4}\\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x^2y^2}}=\dfrac{2}{xy} \end{cases}

`->`\begin{cases} x^2+y^2+(-x-y)^2\ge\dfrac{(x+y)^2}{2}+(x+y)^2=\dfrac{3}{2}(x+y)^2 \\\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(-x-y)^2}\ge\dfrac{2}{\dfrac{(x+y)^2}{4}}+\dfrac{1}{(x+y)^2}=\dfrac{9}{(x+y)^2} \end{cases}

`->[x^2+y^2+(-x-y)^2][1/x^2+1/y^2+1/(-x-y)^2]>=3/2 (x+y)^2 9/(x+y)^2=27/2`

`->[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2][1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2]>=27/2`

`->1/3 [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2][1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2]>=9/2`

`->(a^2+b^2+c^2)[1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2]>=9/2`

Dấu bằng xảy ra khi 

\begin{cases} a+b+c=0 \\ x=y \end{cases}

`->` \begin{cases} a+b+c=0 \\ a-b=b-c \end{cases}

`->` \begin{cases} a+c=-b \\ a+c=2b \end{cases}

`->` \begin{cases} -b=2b \\ a+c=2b \end{cases}

`->` \begin{cases} a+c=0 \\ b=0 \end{cases}

Vậy `(a^2+b^2+c^2)[1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2]>=9/2`, đẳng thức xảy ra khi `b=0;a+c=0` và các hoán vị