Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$AM//CN$; $AM = \dfrac{1}{2}AB;CN = \dfrac{1}{2}CD;AB = CD$

$\to AM//CN;AM=CN$

$\to AMCN$ là hình bình hành.

$\to AN=MC$

b) Gọi $AC\cap BD=O$

Ta có:

$ABCD$ là hình bình hành

$\to AC,BD$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

$\to O$ là trung điểm của $AC,BD$
Lại có:

$AMCN$ là hình bình hành

$\to MN,AC$ giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $AC$

$\to O$ là trung điểm của $MN$

$\to AC,MN,BD$ cắt nhau tại $O$

c) Ta có:

 Chứng minh tương tự câu a ta có: $BMDN$ là hình bình hành

$\to MD//BN$

$\to MP//QN$

Lại có:

$AMCN$ là hình bình hành.

$\to AN//CM$

$\to PN//MQ$

Xét tứ giác $MQNP$ có: $PN//MQ:MP//QN$

$\to MQNP$ là hình bình hành.

d) Ta có:

$MQNP$ là hình chữ nhật

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \widehat {MQN} = {90^0}\\
 \Leftrightarrow CM \bot AN = P
\end{array}$

Lại có:

Chứng minh tương tự câu a ta có: $AMND$ là hình bình hành.

Khi đó:

$MQNP$ là hình chữ nhật

$ \Leftrightarrow AMND$ là hình thoi

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow AD = AM\\
 \Leftrightarrow AD = 2AB
\end{array}$

Vậy hình bình hành cần có thêm điều kiện $AD=2AB$ thì $MQNP$ là hình chữ nhật.