a) Xét $\Delta ABC$ và $ \Delta HBA$, ta có:

$\widehat {BAC} = \widehat {BHA}( = {90^ \circ })$

$\widehat B$ là góc chung

$ \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HBA(g - g)$

$ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BC}}{{AB}} \\ \Rightarrow A{B^2} = BH.BC \\ $

b) Xét $\Delta ABC \bot A$, áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

$ \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \\ \Rightarrow B{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400 \\ \Rightarrow BC = 20(cm) \\ $

Vì $BD$ là tia phân giác góc $B$, nên ta có:

$ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{A{\text{D}}}}{{DC}} \\ \Rightarrow \dfrac{{A{\text{D}}}}{{DC}} = \dfrac{{12}}{{20}} = \dfrac{3}{5}(1) \\ A{\text{D}} + DC = AC = 16 \\ \Rightarrow DC = 16 - A{\text{D}} \\ (1) \Leftrightarrow \dfrac{{A{\text{D}}}}{{16 - A{\text{D}}}} = \dfrac{3}{5} \\ \Leftrightarrow 5{\text{AD}} = 3(16 - A{\text{D}}) \\ \Leftrightarrow 8{\text{AD}} = 48 \\ \Leftrightarrow A{\text{D}} = 6(cm) \\ $

Mà $ A{B^2} = BH.BC \\ \Leftrightarrow {12^2} = BH.20 \\ \Rightarrow BH = \dfrac{{{{12}^2}}}{{20}} = 7,2(cm) \\ $

Xét $\Delta ABH \bot H$. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

$ B{H^2} + H{A^2} = A{B^2} \\ \Rightarrow H{A^2} = A{B^2} - B{H^2} \\ = {12^2} - {7,2^2} \\ = 92,16 \\ \Rightarrow AH = 9,6(cm) \\ $

c) Vì $BD$ là tia phân giác góc $B$, nên ta có:

$\Rightarrow \dfrac{{DC}}{{DA}} = \dfrac{{BC}}{{BA}} = \dfrac{{20}}{{12}} = \dfrac{5}{3}$

Vì $BE$ là tia phân giác góc $B$, nên ta có:

$ \Rightarrow \dfrac{{A{\text{E}}}}{{EH}} = \dfrac{{AB}}{{BH}} = \dfrac{{12}}{{7,2}} = \dfrac{5}{3} \\ \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{DA}} = \dfrac{{A{\text{E}}}}{{EH}}(dpcm) \\ $