Giải thích các bước giải:

a.Ta có $NI,PK$ là trung tuyến $\Delta MNP$

            $NI\cap PK=G\to G$ là trọng tâm $\Delta MNP$

$\to GI=\dfrac13GN, GK=\dfrac13GP$

Mà $E,F$ là trung điểm $GN,GP$

$\to GE=\dfrac12GN=\dfrac12\cdot\dfrac23NI=\dfrac13NI$

$\to GE=GI\to G$ là trung điểm $EI$

Tương tự $G$ là trung điểm $KF\to KIEF$ là hình bình hành

b.Để $KIFE$ là hình chữ nhật

$\to KF=EI$

$\to 2GK=2GI$

$\to GK=GI$

$\to 3GK=3GI$

$\to PK=NI$

$\to \Delta MNP$ cân tại $M$

c. Nếu $\Delta MNP$ cân tại $M$

Gọi $MG\cap NP=H\to H$ là trung điểm $NP$ vì $G$ là trọng tâm $\Delta MNP$

$\to HP=HN=\dfrac12NP=4$

Mặt khác $MH\perp NP$

$\to MH=\sqrt{MN^2-NH^2}=3$

$\to S_{MNP}=\dfrac12\cdot MH\cdot NP$

$\to S_{MNP}=\dfrac12\cdot 3\cdot 8$

$\to S_{MNP}=12$

$\to \dfrac{S_{GNP}}{S_{MNP}}=\dfrac{GH}{MH}=\dfrac13$

$\to S_{GNP}=\dfrac13S_{MNP}=4$

Vì $E,F$ là trung điểm $NP\to EF$ là đường trung bình $\Delta GNP$

$\to EF//NP, EF=\dfrac12NP$

$\to\widehat{GEF}=\widehat{GNP},\widehat{GFE}=\widehat{GPN}$

$\to\Delta GEF\sim\Delta GNP(g.g)$

$\to \dfrac{S_{GEF}}{S_{GNP}}=(\dfrac{EF}{NP})^2$

$\to \dfrac{S_{GEF}}{S_{GNP}}=\dfrac14$

$\to S_{GEF}=\dfrac14S_{GNP}=1$

Vì $KIFE$ là hình bình hành

$\to S_{KIFE}=4S_{GEF}=4$