Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABE,\Delta ADF$ có:

$AB=AD$ vì $ABCD$ là hình vuông

$\widehat{ABE}=\widehat{ADF}(=90^o)$

$BE=DF$

$\to\Delta ABE=\Delta ADF(c.g.c)$

b.Từ câu a

$\to AE=AF,\widehat{BAE}=\widehat{DAF}$

$\to\widehat{EAF}=\widehat{EAD}+\widehat{DAF}=\widehat{EAD}+\widehat{BAE}=\widehat{BAD}=90^o$

Vì $G$ là trung điểm $EF$

    $A,H$ đối xứng qua $G\to G$ là trung điểm $AH$

$\to AEHF$ là hình bình hành
Kết hợp $AE=AF,\widehat{EAF}=90^o$

$\to AEHF$ là hình vuông

c.Vì $AEHF$ là hình vuông, $G$ là trung điểm $EF$

$\to G$ là trung điểm $AH$ và $GA=GH=GE=GF$

Ta có $\Delta EFC$ vuông tại $C, G$ là trung điểm $EF$

$\to  GC=GE=GF$

$\to GC=GA=GH=\dfrac12AH$

$\to \Delta ACH$ vuông tại $C$

d.Ta có $GA=GC$ (câu c)$

$\to G\in$ trung trực của $AC$

Mà $BD$ là trung trực của $AC$ vì $ABCD$ là hình vuông

$\to G\in DB$

Ta có $I$ là trọng tâm $\Delta AEF,G$ là trung điểm $EF$

$\to \dfrac{IG}{AG}=\dfrac13$

$\to \dfrac{S_{IBD}}{S_{ABD}}=\dfrac{IG}{AG}=\dfrac13$

$\to S_{IBD}=\dfrac13S_{ABD}$ không đổi