Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$A\left( { - 1,2} \right);B\left( {1,3} \right);C\left( {2,2} \right)$

a) Ta có:

$\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1,2} \right);\overrightarrow {OB}  = \left( {1,3} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} $ không cùng phương.

$\to O,A,B$ không thẳng hàng.

b) Gọi $M\left( {x,0} \right)$

$M,A,B$ thẳng hàng

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{0 - 2}}{1}\\
 \Leftrightarrow x + 1 =  - 4\\
 \Leftrightarrow x =  - 5
\end{array}$

Vậy $M\left( { - 5,0} \right)$

c) Ta có:

Giao điểm của $OA$ và $OB$ chính là $O$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow N \equiv O\\
 \Rightarrow N\left( {0,0} \right)
\end{array}$

Vậy $N\left( {0,0} \right)$

d) Gọi $E(x,0)$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {BE}  = \left( {x - 1, - 3} \right)\\
 \Rightarrow BE = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} - 2x + 10} 
\end{array}$

Mà $BE = 5$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 10}  = 5\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 10 = 25\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 15 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x =  - 3
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $E\left( {5,0} \right)$ hoặc $E\left( { - 3,0} \right)$

e) Gọi $M(x,y)$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA}  = \left( { - 1 - x,2 - y} \right)\\
\overrightarrow {MB}  = \left( {1 - x,3 - y} \right)\\
\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - x,2 - y} \right)\\
 \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC}  = \left( {-1-4x,11-4yy} \right)
\end{array}$

Khi đó:

$2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 $

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
-1 - 4x = 0\\
11 - 4y = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{-1}{4}\\
y = \dfrac{11}{4}
\end{array} \right.
\end{array}$

$ \Rightarrow M\left( {\dfrac{-1}{4},\dfrac{11}{4}} \right)$

Vậy $M\left( {\dfrac{-1}{4},\dfrac{11}{4}} \right)$

f) Gọi $K(x,y)$

Ta có:

$K$ cách đều $A$ và $B$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow KA = KB\\
 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {KA} } \right| = \left| {\overrightarrow {KB} } \right|\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} \\
 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 6y + 9\\
 \Leftrightarrow 4x + 2y = 5\\
 \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{2} - 2x
\end{array}$

$ \Rightarrow K\left( {x,\dfrac{5}{2} - 2x} \right)$

Vậy $K\left( {x,\dfrac{5}{2} - 2x} \right)$ thỏa mãn.