Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AMB,\Delta AMC$ có:
Chung $AM$
$MB=MC$ vì $M$ là trung điểm $BC$
$AB=AC$
$\to \Delta AMB=\Delta AMC(c.c.c)$
$\to \widehat{MAB}=\widehat{MAC}$
$\to \widehat{GAB}=\widehat{GAC}$
Xét $\Delta GAB,\Delta GAC$ có:
Chung $AG$
$\widehat{GAB}=\widehat{GAC}$
$AB=AC$
$\to \Delta AGB=\Delta AGC(c.c.c)$
b.Ta có trung tuyến $AM, BN$ cắt nhau tại $G$
$\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$
$\to GM=\dfrac12AG$
Từ câu a $\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$
Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o$
$\to\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^o$
$\to AM\perp BC$
Mà $CI\perp BC$
$\to AM//CI$
Xét $\Delta NAG,\Delta NCI$ có:
$\widehat{NAG}=\widehat{NCI}$ vì $AM//CI$
$NA=NC$ vì $N$ là trung điểm $AC$
$\widehat{ANG}=\widehat{INC}$ (đối đỉnh)
$\to \Delta NAG=\Delta NCI(g.c.g)$
$\to CI=AG$
$\to GM=\dfrac12CI$
c.Từ câu b $\to NG=NI$
Xét $\Delta NAI,\Delta NCG$ có:
$NA=NC$
$\widehat{ANI}=\widehat{GNC}$(đối đỉnh)
$NI=NG$
$\to \Delta NAI=\Delta NGC(c.g.c)$
$\to AI=CG$
Từ câu a $\to GB=GC$
$\to AI=GB$
Ta có:
$\widehat{AGB}=180^o-\widehat{BGM}=\widehat{GBM}+\widehat{GMB}>\widehat{GMB}=\widehat{AMB}=90^o$
$\to \Delta AGB$ tù tại $G$
$\to GB<AB$
$\to AI<AB$
$\to \widehat{AIB}>\widehat{ABI}$