Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `ΔHBA` và `ΔABC` có:
      $\widehat{BHA}$ = $\widehat{ABC}$ `= 90^0`
      $\widehat{B}$ là góc chung
Do đó: `ΔHBA ∽ ΔABC` (`g. g`)
`=> (AB)/(BC) = (HB)/(AC)` hay `AB² = HB. BC` (đpcm)
$\\$

`b)` Vì `ΔABC` vuông tại `A` (gt) nên:

       `AB. AC = AH. BC`

Hay `9. 12 = AH. 15`

`=> AH = (9. 12)/15 = 7,2cm`

- Áp dụng định lí py - ta - go vào tam giác vuông `AHB`, ta được:

        `HB² =` $\sqrt[]{AB² - AH²}$ 

Hay `HB =` $\sqrt[]{9² - 7,2²}$  

`⇒ HB = √29,16`

`⇒ HB = 5,4cm`

Xét `ΔABM` và `ΔBHN` có:
      $\widehat{MAB}$ = $\widehat{BHN}$ `= 90^0`
      $\widehat{ABM}$ = $\widehat{HBN}$ `(BM` là đường phân giác của $\widehat{CBA}$)
Do đó: `ΔABM ∽ ΔBHN` (`g. g`)

Ta có:

`(AB)/(BH) = 9/(5,4) = 5/3`

`=> S_(ΔABM) ∽ S_(ΔBHN) = (5/3)² = 25/9`

$\\$

`c)` Vì BM là đường phân giác của ΔABC nên: `(1)`
        `(CB)/(CM) = (BA)/(AM)` (tính chất đường phân giác)

`(1)` `=> (BH)/(HN) = (AB)/(NA)`

Mà `(HB)/(BC) = (BA)/(AH)` (`ΔHAB ∽ ΔABM`)

`=> (NH)/(NA) = (MA)/(MC)` (đpcm)

`a)` Xét `ΔHBA` và `ΔABC` có:

      `@`$\widehat{BHA}$ = $\widehat{BAC}$ `= 90^@`

      `@`$\widehat{HBA}$:  chung

`=>` `ΔHBA ∽ ΔABC` (`g. g`)

`=> (AB)/(BC) = (HB)/(AC)` 

`=>` `AB² = HB. BC  (đpcm)`

`b)`Áp dụng định lý Py-ta-go trong `triangle ABC` vuông tại A có:

`AB^2 +AC^2 = BC^2`

`<=> BC = sqrt(9^2 +12^2) =15(cm)`

Vì `ΔABC` vuông tại `A`

`=>`  `1/2 AB. AC = 1/2 AH. BC`

`=> AB.AC=AH.BC`

`=> AH= (9.12)/15 =7,2 (cm)`

Áp dụng định lí py - ta - go vào `triangle` `AHB` vuông tại H có:

        `HB^2 =` $\sqrt[]{AB^2 - AH^2}$ 

`=>` `HB =` $\sqrt[]{9^2 - (7,2)^2}$  

`⇒ HB = sqrt(29,16)`

`⇒ HB = 5,4 (cm)`

Xét `ΔABM` và `ΔBHN` có:

      `@`$\widehat{MAB}$ = $\widehat{BHN}$ `(= 90^@)`

      `@`$\widehat{ABM}$ = $\widehat{HBN}$ `(BM` là đường phân giác của $\widehat{ABC})$

`=>` `ΔABM ∽ ΔBHN` (`g. g`)

Ta có:

`(AB)/(BH) = 9/(5,4) = 5/3`

`=>` `(S_(triangleABM))/(S_(triangle BHN)) = (5/3)^2 = 25/9`

`c)` Vì BM là đường phân giác của `triangle ABC` nên:

        `=> (BA)/(BC) = (MA)/(MC)` (tính chất đường phân giác)

`=> (MA)/(MC) = 9/15 =3/5` (1)

Vì `BN` là phân giác của `triangle ABH` `

`=> (BH)/(BA) = (NH)/(NA)` (tính chất đường phân giác)

`=> (NH)/(NA) = (5,4)/9 = 3/5` (2)

Từ (1) (2) `=> (NH)/(NA) = (MA)/(MC)`