Đáp án:

d) \(K\left( {3; - 1} \right)\)

Giải thích các bước giải:

 a) Do I là trung điểm của BC

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \dfrac{{ - 1 + 5}}{2}\\
{y_I} = \dfrac{{1 - 2}}{2}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = 2\\
{y_I} =  - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
 \to I\left( {2; - \dfrac{1}{2}} \right)
\end{array}\)

b) Xét:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( {6; - 3} \right) \to \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 3\sqrt 5 \\
\overrightarrow {AC}  = \left( {3;6} \right) \to \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {6^2}}  = 3\sqrt 5 \\
 \to \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|
\end{array}\)

⇒ ΔABC cân A

c) \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;9} \right) \to \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 3\sqrt {10} \)

Do I là trung điểm của BC

Mà ΔABC cân A

⇒AI đồng thời là đường cao

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AI}  = \left( {3; - \dfrac{3}{2}} \right) \to \left| {\overrightarrow {AI} } \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}\\
 \to {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AI.BC\\
 = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}.3\sqrt {10}  = \dfrac{{45\sqrt 2 }}{4}
\end{array}\)

d) Giả sử K(a;b)

Có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {KA}  = \left( { - 1 - a;1 - b} \right)\\
\overrightarrow {KB}  = \left( {5 - a; - 2 - b} \right) \to 2\overrightarrow {KB}  = \left( {10 - 2a; - 4 - 2b} \right)\\
Do:\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
 - 1 - a + 10 - 2a = 0\\
1 - b - 4 - 2b = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b =  - 1
\end{array} \right.\\
 \to K\left( {3; - 1} \right)
\end{array}\)

a. Gọi $I(x_I,y_I)$

Do $I$ là trung điểm $BC$ nên:

$\begin{cases}x_I=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{5+2}{2}=\dfrac{7}{2}\\y_I=\dfrac{-2+7}{2}=\dfrac{5}{2}\end{cases}$

Vậy $I\bigg(\dfrac{7}{2};\dfrac{5}{2}\bigg)$

b. $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{6^2+(-3)^2}=3\sqrt{5}$

    $AC=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$

$\Rightarrow AB=AC$

$\Rightarrow\triangle ABC$ cân tại $A$

c. Do $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AI$ là đường cao.

Có: $AI=\sqrt{\bigg(\dfrac{9}{2}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{3}{2}\bigg)^2}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$

       $BC=3\sqrt{10}$

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AI.BC=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\cdot3\sqrt{10}=\dfrac{45}{2}$ (đvdt)

d) Gọi $K(x_K,y_K)$

$\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

$⇔\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}$

$⇔\begin{cases}-1-x_K=-2(5-x_K)\\1-y_K=-2(-2-y_K)\end{cases}$

$⇔\begin{cases}x_K=3\\y_K=-1\end{cases}$

Vậy $K(3;-1)$