Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1. a) CM: $AKHI$ là hình thoi

Ta có:

$\to AK=\frac{1}{2}AB$ ($K$ là trung điểm $AB$)

$\to AI=\frac{1}{2}AC$ ($I$ là trung điểm $AC$)

Mà $AB=AC$($\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\to AK=AI$

Xét$\Delta ABC$có:

$K,H$ lần lượt là trung điểm $AB,BC$

$\to KH$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\to KH=\frac{1}{2}AC$ và $KH//AC$

Hay $KH=AI$ và $KH//AI$

$\to AKHI$ là hình bình hành

Có:$AK=AI$ (cmt)

$\to AKHI$ là hình thoi

1. b) CM$AN\bot CN$

$\Delta ABC$ cân tại $A$

Có $AH$ là đường trung tuyến ($H$ là trung điểm $BC$)

Nên $AH$ cũng là đường cao

$\to AH\bot BC$ tại $H$

$\to \widehat{AHC}=90{}^\circ $

Xét tứ giác $AHCN$ có:

$I$ là trung điểm $AC$ (gt)

$I$ là trung điểm $NH$ ($N$ đối xứng $H$ qua $I$)

$\to AHCN$ là hình bình hành

Có $\widehat{AHC}=90{}^\circ $(cmt)

$\to AHCN$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{ANC}=90{}^\circ $

$\to AN\bot CN$

1. c) Tính $EF$

Vì $AHCN$ là hình chữ nhật

Nên $CN=AH=6\left( cm \right)$

Xét $\Delta ABF$ có:

$K$ là trung điểm $AB$ (gt)

$KE//AF$ ($KH//AI$,cmt)

$\to E$ là trung điểm $BF$

$\to BE=EF\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta NHE$ có:

$I$ là trung điểm $NH$

$IF//HE$ ($KH//AI$,cmt)

$\to F$ là trung điểm $NE$

$\to EF=FN\,\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$$\to BE=EF=FN$

Mà $BE+EF+FN=BN$

$\to EF=\frac{1}{3}BN$

Xét $\Delta BCN$vuông tại $C$ có:

$B{{N}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{N}^{2}}$

$B{{N}^{2}}={{8}^{2}}+{{6}^{2}}=64+36=100$

$BN=10\left( cm \right)$

$\to EF=\frac{1}{3}BN=\frac{1}{3}.10=\frac{10}{3}\left( cm \right)$