Giải thích các bước giải:

a) Ta có : Góc I là trung điểm của AC
               Góc K là trung điểm của AB     ( ∆ ABC là tam giác cân ) 

⇒ AK = KB = AI = IC       (1)    

Xét ∆BKM và ∆ CIM ta có : 
   BK = CI       ( chứng minh trên ) 
   B = C           ( ∆ ABC là tam giác cân ) 
   BM = MC        (gt)
⇒ ∆ BKM = ∆ CIM        (c-g-c) 
⇒ KM = MI
    $M_{1}$ = $M_{2}$        (2) 

Xét ∆AMC có MI là trung tuyến ( Góc M = $90^{o}$  ) 
⇒ MI = $\frac{1}{2}$ = AI = IC             (3)       

Từ (1)(2)(3) suy ra :
⇒ AK = KB = AI = IC = KM = MI       (4) 

Xét tứ giác AKMI có AK = KM = MI = AI        (chứng minh 4)
⇒ AKMI là hình thoi 

b) Xét tứ giác AMCN có : MI = IN     (gt) 
                                         AI = IC        (gt) 
                                         I là trung điểm của MN, AC 
⇒ AMCN là hình bình hành 
mà Góc M = $90^{o}$ 
⇒ AMCN là hình chữ nhật 

c) Vì AMCN là hình chữ nhật ⇒ AN = MC
                                                   AN // MC
Xét tứ giác ANBM có : AN = BM  (= MC)
                                    AN // BM  ( AN // MC ) 
⇒ ANBM là hình bình hành 
Ta có : E là góc đối của 2 đường chéo AM 

⇒ E là trung điểm của BN 

d) Tứ giác AMCN là hình chữ nhật    ( chứng minh trên ) 
Để AMCN là hình vuông thì :
⇔ AM = MC
⇔ ∆AMC cân tại M mà ∆AMC vuông cân
⇔ Góc C = $45^{o}$  
Mà ∆ABC cân tại A 
⇔ ∆ABC phải vuông cân tại A
 
  
Chúc cậu học vui vẻ ...! <3
Ước được 5 sao :3