Áp dụng định lý Py-ta-go vào `\triangleABC` vuông tại `A` :

`BC^2=AB^2+AC^2`

`=>BC^2=9^2+12^2`

`=>BC^2=225`

`=>BC=\sqrt{225}=15` `(cm)`

Xét `\triangleABC` vuông tại `A` có :

`AE` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

`=>AE=1/2BC`

`=>AE=1/2 .15=7,5` `(cm)`

Xét tứ giác `AMNE` có :

`\hat{MAN}=90^o` `(\triangleABC` vuông tại `A)`

`\hat{EMA}=90^o`  `(EM\botAB)`

`\hat{ENA}=90^o`   `(EN\botAC)`

`=>` Tứ giác `AMNE` là hình chữ nhật

`b)` Vì `AMNE` là hình chữ nhật `(cmt)`

`=>AM=EN=>AM=NF` `(=EN)`

`=>AM`//`NF` `(E,N,F` thẳng hàng `)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=>AMNF` là hình bình hành

`c)`  Ta có :

`AE=EC(=BC/2)`

`=>\triangleAEC` cân tại `E`

Mà `EN\botAC` `\text{( gt )}`

`=>EN` là đường cao của `\triangleAEC`

`=>EN` đồng thời là đường trung tuyến của `\triangleAEC`

`=>NA=NC`

Xét tứ giác `AECF` có :

`NE=NF` `(E` đối xứng với `F` qua `N)`

`NA=NC` `(cmt)`

`=>AECF` là hình bình hành

Mà `NF\botAC`

`=>AECF` là hình thoi 

a)
Xét ΔABC vuông tại A
⇒ AB²+AC²=BC²(Pytago)
⇒ BC²=9²+12²
⇒ BC=15cm
Vì AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC⇒ AE=BC:2
⇒ AE=15:2⇒ AE=7,5cm
Xét tứ giác AMEN có
 MANMAN^=90∘90∘
AMEAME^=90∘90∘
ANEANE^=90∘90∘
⇒ AMEN là hình chữ nhật
b) 
Vì F là điểm đối xứng của E qua N⇒ NE=NF
Lại có AM=EN⇒ AM=NF
Vì EM//NF⇒ AM//NF
⇒ AMNF là hình bình hành
c) 
Xét tứ giác AECF có
+ N là trung điểm EF
+ N là trung điểm AC
⇒ AECF là hình bình hành
Lại có ˆANEANE^=90∘90∘
⇒ AECF là hình thoi