Đáp án+giải thích các bước giải:

a)

Ta có:

ABCD là hình vuông (gt)

⇒ AB=BC=CD=DA=4 cm

do

AM+MB=AB 

BN+NC=BC

CP+PD=CD

DQ+QA=DA

mà

AM=BN=CP=DQ = 3cm

⇒ MB=NC=DP=AQ= 1 cm

Xét Δ AMQ, ΔBNM, ΔCPN, ΔDQP ta có:

AB=BC=CD=DA (ABCD là hình vuông)

∠A=∠B=∠C=∠D=90 độ (ABCD là hình vuông)

AM=BN=CP=DQ (gt)

⇒ Δ AMQ =  ΔBNM = ΔCPN = ΔDQP (c.g.c)

⇒ QM=MN=NP=PQ ( các cạnh tương ứng)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông BNM có:

MN² = MB² + BN²

MN² = 1² + 3²

MN² = 10

⇒ MN = √10 

mà QM=MN=NP=PQ (cmt)

⇒ QM=MN=NP=PQ = √10 cm

b)

Xét Δ vuông AMQ có:

∠A = 90 độ

⇒ ∠AMQ+∠AQM=90 độ

mà ∠BMN=∠AQM ( Δ AMQ =  ΔBNM)

⇒ ∠BMN+∠AMQ=90 độ

có:

∠BMN+∠AMQ+∠NMQ=180 độ (kề bù)

(∠BMN+∠AMQ)+∠NMQ=180

90+∠NMQ=180

∠NMQ=180-90= 90 độ

Tương tự:

∠MNP=90 độ

∠NPQ=90 độ

∠PQM=90 độ

Xét tứ giác MNPQ có:

QM=MN=NP=PQ (cma)

∠NMQ=∠MNP=∠NPQ=∠PQM=90 độ

⇒ MNPQ là hình vuông (dh1)