a) Vì `E` đối xứng với `H` qua `D`
nên `D` là trung điểm của `HE`
Ta có:
Tứ giác `AHCE` có hai đường chéo `HE` và `AC` cắt nhau tại trung điểm `D` của mỗi đường
`=>` `AHCE` là hình bình hành
mà `AH` $\bot$ `HC`
nên `AHCE` là hình chữ nhật
b) Vì `AHCE` là hình chữ nhật
nên `AE`$\parallel$`HC` hay `AE`$\parallel$`IH`
Xét tứ giác `AEHI` có:
`AE`$\parallel$`IH`
`AI`$\parallel$`HE`
Do đó `AEHI` là hình bình hành
c) Ta có: `AE=HC` (AHCE là hình chữ nhật)
mà AE= HI (AEHI là hình bình hành)
`⇒HC=HI `
Xét Δ IHA và Δ CHA có:
`HI` `=` `HC` (cmt)
$\widehat{IHA}$ = $\widehat{CHA}$ (=90 ° vì `AH` là đường cao của Δ ABC)
`HA` là cạnh chung
`⇒ Δ IHA = Δ CHA ( c.g.c)`
⇒$\widehat{HAC}$= $\widehat{HAI}$ `( hai góc tương ứng)`
⇒ `AK` là tia phân giác của $\widehat{IAC}$
d) Xét tứ giác `CAIK` có:
`HI=HC``(cmt)`
`AH=HK (gt)
⇒ Hai đường chéo `CI` và `AK` cắt nhau tại trung điểm `H` của mỗi đường
⇒ `CAIK` là hình bình hành
Hình bình hành`CAIK` có đường chéo `AK` là đường phân giác của $\widehat{IAC}$ (cmt tại câu c )
⇒ `CAIK` là hình thoi
Hình thoi `CAIK` là hình vuông (có góc = 90°)
⇒ `AK =IC `
⇒` AH =HC`
⇒ `AH` vừa là đường cao,đường trung tuyến của ΔABC
⇒ ΔABC là Δ vuông, cân tại A
Hình chữ nhật `AHCE` có hai cạnh kề bằng nhau ( `AH` = `HC`)
⇒ `AHCE` là hình vuông
Vậy `ΔABC` là `Δ` `vuông` và cân tại $\widehat{A}$
⇒ tứ giác `CAIK` là hình vuông
⇒ tứ giác `AHCE` là hình vuông
$@FANCONANANIME$