a. Xét `ΔABI` và `ΔADI` có:

          `AB=AD` (do cách `AC` lấy điểm D)

          `\hat{BAI}=\hat{DAI}` (do `AI` là tia phân giác `\hat{A}`)

        ` A`I chung

`=>ΔABI=ΔADI (c.g.c)`

`=>BI=DI` (2 cạnh tương ứng)

b.Vì `ΔABI=ΔADI` ( theo câu a)

`=>\hat{ABI}=\hat{ADI}` (2 góc tương ứng)

Lại có: `ABI+IBE=180^o` (2 góc kề bù)

           `ADI+IDC=180^o` (2 góc kề bù)

`=>\hat{IBE}={IDC}`

Xét `ΔIBE` và `ΔIDC` có:

     ` \hat{IBE}=\hat{IDC}`(cmt)

      `IB=ID` (câu a)

      `\hat{BIE}=\hat{DIC}` (2 góc đối đỉnh)

`=>ΔIBE=ΔIDC (g.c.g)`

c.Vì `ΔIBE=ΔIDC` (câu b)

`=>BE=DC` (2 cạnh tương ứng)

Lại có: `AB=AD` (gt)

`=>AB+BE=AD+DC`

hay `AE=AC`

`=>ΔAEC` cân tại `A`

Trong `ΔAEC` cân tại `A` có:

     Đường phân giác `AI `đồng thời là đường cao

`=>AI⊥EC (1)`

Ta có: `AB=AD` (gt)

`=>ΔABD` cân tại `A`

Trong `ΔABD` cân tại `A` có:

     Đường phân giác `AI` đồng thời là đường cao

`=>AI⊥BD (2)`

Từ (1) và (2) =>BD//EC (vì cùng ⊥AI)

d.Vì `ΔIBE=ΔIDC` (cm câu b)

`=>\hat{BEI}=\hat{DCI}` (2 góc tương ứng)

và `\hat{BIE}=\hat{DIC}` (2 góc tương ứng)

và `IB=ID` (2 cạnh tương ứng)

Ta có: `\hat{ABC}=\hat{BEI}+\hat{BIE}`

Mà `\hat{BEI}=\hat{DCI}` (cmt)

Và  ``\hat{BIE}=\hat{DIC}`  (cmt)

`=>\hat{ABC}=\hat{DCI}+\hat{DIC} (3)`

Lại có: `\hat{ABC}=2.\hat{DCI}=\hat{DCI}+\hat{DCI} (4)` (do `\hat{ABC}=hat{ACB}`)

Từ (3) và (4) `=>\hat{DCI}=\hat{DIC}`

`=>ID=DC`

Mà `ID=BI` (cmt)

`=>BI=DC`

Lại có: `AB=AD ` (gt)

`=>AB+BI=AD+DC`

hay `AB+BI=AC`.

a.Xét ΔABI và ΔADI có:

          AB=AD (do cánh lấy điểm D)

          BAI=DAI (do AI là tia phân giác góc A)

         AI chung

=>ΔABI=ΔADI (c.g.c)

=>BI=DI (2 cạnh tương ứng)

b.Vì ΔABI=ΔADI (cm câu a)

=>ABI=ADI (2 góc tương ứng)

Lại có: ABI+IBE=180 độ (2 góc kề bù)

           ADI+IDC=180 độ (2 góc kề bù)

=>IBE=IDC

Xét ΔIBE và ΔIDC có:

      IBE=IDC (cmt)

      IB=ID (cm câu a)

      BIE=DIC (2 góc đối đỉnh)

=>ΔIBE=ΔIDC (g.c.g)

c.Vì ΔIBE=ΔIDC (cm câu b)

=>BE=DC (2 cạnh tương ứng)

Lại có: AB=AD (gt)

=>AB+BE=AD+DC

hay AE=AC

=>ΔAEC cân tại A

Trong ΔAEC cân tại A có:

     Đường phân giác AI đồng thời là đường cao

=>AI⊥EC (1)

Ta có: AB=AD (gt)

=>ΔABD cân tại A

Trong ΔABD cân tại A có:

     Đường phân giác AI đồng thời là đường cao

=>AI⊥BD (2)

Từ (1) và (2) =>BD//EC (vì cùng ⊥AI)

d.Vì ΔIBE=ΔIDC (cm câu b)

=>BEI=DCI (2 góc tương ứng)

và BIE=DIC (2 góc tương ứng)

và IB=ID (2 cạnh tương ứng)

Ta có: ABC=BEI+BIE

Mà BEI=DCI (cmt)

và BIE=DIC (cmt)

=>ABC=DCI+DIC (3)

Lại có: ABC=2.DCI=DCI+DCI (4) (do ABC=ACB)

Từ (3) và (4) =>DCI=DIC

=>ID=DC

Mà ID=BI (cmt)

=>BI=DC

Lại có: AB=AD (gt)

=>AB+BI=AD+DC

hay AB+BI=AC.