Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$CE//AF \Rightarrow \widehat {ECO} = \widehat {FAO}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ECO} = \widehat {FAO}\\
CO = AO\\
\widehat {EOC} = \widehat {FOA}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ECO = \Delta FAO\left( {g.c.g} \right)\\
 \Rightarrow EO = FO
\end{array}$

$\to O$ là trung điểm của $EF$

$\to AFCE$ là hình bình hành.

b) Ta có:

$AF//CE\to AM//CN$ 

Mà $AN//CM$

$\to AMCN$ là hình bình hành.

$\to AC$ giao $MN$ tại trung điểm mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $AC$

$\to O$ là trung điểm của $MN$

$\to M,O,N$ thẳng hàng.

c) Ta có:

Để $AKDO$ là hình bình hành

$ \Leftrightarrow AK = OD;AK//OD$

Mà ta có:

$O,E$ lần lượt là trung điểm của $CA,CK$

$\to OE$ là đường trung bình của tam giác $ACK$

$\to OE//AK; OE=\dfrac{1}{2}AK$

Hay $OD//AK; OE=\dfrac{1}{2}OD$

Vậy để $AKDO$ là hình bình hành $ \Leftrightarrow $ $E$ là trung điểm của $OD$

d) Ta có:

Có $B,D$ lần lượt là trung điểm của 2 cạnh $AH,AI$

$\to BD$ là đường trung bình của tam giác $AHI$

$\to BD//HI$

Để $I,H$ đối xứng với nhau qua $AC$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow HI \bot AC\\
 \Leftrightarrow BD \bot AC
\end{array}$

$ \Leftrightarrow ABCD$ là hình thoi.