Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có: 

`(x+y+z)^2<=3(x^2+y^2+z^2)`

`<=>x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)<=3x^2+3y^2+3z^2`

`<=>0<=3x^2+3y^2+3z^2-x^2-y^2-z^2-2xy-2yz-2xz`

`<=>0<=(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)`

`<=>0<=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2` (luôn đúng `AA` `x,y,z` `in` `RR`)

Vậy `(x+y+z)^2<=3(x^2+y^2+z^2)`

Dấu `=` xảy ra khi `x=y=z.`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `(x+y+z)^2 <= 3(x^2+y^2+z^2) ` (*)

`<=> x^2 +y^2 +z^2 +2xy +2xz +2yz <= 3x^2 +3y^2 +3z^2` 

`<=> x^2 -3x^2 + y^2 -3y^2 +z^2 -3z^2 + 2xy+ 2xz +2yz <=0`

`<=> -2x^2-2y^2-2z^2 +2xy+ 2xz +2yz <= 0`

`<=> (- x^2 +2xy -y^2) +(-y^2+2yz -z^2) + (-z^2 +2xz -x^2)  <=0 `

`<=> -(x^2 -2xy+y^ 2  ) - (y^2-2yz +z^2) - (x^2 -2xz +z^2) <= 0`

`<=> -(x-y)^2 - (y-z)^2 -(x-z)^2 <= 0`

`<=> - [( x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2 ] <=0 `

vì 

`(x-y)^2 >=0 ` với moi `x,y`

`(y-z)^2>= 0 `  với mọi `y,z`

`(x-z)^2 >=0 `với mọi `x,z`

suy ra `( x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2  >= 0 ` với mọi `x,yz` 

`=> - [( x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2 ] <=0 `  ( luôn đúng ) 

suy ra `(**)` đúng  

dấu " =" xảy ra `<=>x=y=z`

vậy `(x+y+z)^2 <= 3(x^2+y^2+z^2) ` (đpcm ) 

`