$ a) $

 $ xét tứ giác ACBM có: BM // AC (gt) và AM // BC (gt) $

$ =>ACBM là hình bình hành (đn) $

$ b, BE // AD (gt) $

$ BD _|_ AD (gt) $

$ => BE _|_ AD(đl) $

$ => ∠EBD = 90 = ∠BDA = ∠AEB $

$ => ADBE là hình chữ nhật (dh) $

$ c, Tam giác ABC cân tại B (gt) ; BD là đường cao (gt) $

$ => BD là trung tuyến của tam giác ABC (đl) $

$ => D là trung điểm của AC (Đn )$

$ D là trung điểm của BK do B đối xứng với K qua D (Gt) $

$ => BAKC là hình bình hành (dh) $

$ mà BD _|_ AC (Gt) $

$ => BAKC là hình thoi (dh) $

$ d, có BAKC là hình thoi (câu c) $

$ => AK // BC (tc) $

$ AM // BC (gt) $

$ => A; M; K thẳng hàng (tiên đề Ơclit)(1) $

$ AK = BC do BAKC là hình thoi  (câu c) $

$ AM = BC do ACBM là hình bình hành (câu a) $

$ => AM = MK và (1) $

$ => A là trung điểm của KM (đn) $

$ => M đối xứng với K qua A (đn) $

$ e, BMKC là hình thang (KM // BC) $

$ để BMKC là hình thang cân $

$ <=> ∠BMK = ∠MKC (dh) $

$ ∠BMK =  ∠BCA do BMAC là hình bình hành (câu a) $

$ ∠AKC = ∠CBK do AKCB là hình thoi (câu c) $

$ <=> ∠ABC = ∠ACB $

$mà tam giác ABC cân tại B (Gt)$

$=> tam giác ABC đều$

$=>BMKC là hình thang cân$