Giải thích các bước giải:

Giả sử tất cả các tỉ số trong bài đều có nghĩa

a) Ta có:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\left( 1 \right)$

TH1: $c = 0 \Rightarrow a = 0$

$ \Rightarrow \dfrac{a}{{a - b}} = \dfrac{c}{{c - d}} = 0$

TH2: $c \ne 0 \Rightarrow a \ne 0$

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Rightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}\\
 \Rightarrow 1 - \dfrac{b}{a} = 1 - \dfrac{d}{c}\\
 \Rightarrow \dfrac{{a - b}}{a} = \dfrac{{c - d}}{c}\\
 \Rightarrow \dfrac{a}{{a - b}} = \dfrac{c}{{c - d}}
\end{array}$

Như vậy ta có đpcm

b) Ta có:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:;

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}}$

Như vậy ta có đpcm

c) Ta có:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\left( 1 \right)$

TH1: $c = 0 \Rightarrow a = 0$

$ \Rightarrow \dfrac{a}{{3a + b}} = \dfrac{c}{{3c + d}} = 0$

TH2: $c \ne 0 \Rightarrow a \ne 0$

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Rightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c} \Rightarrow 3 + \dfrac{b}{a} = 3 + \dfrac{d}{c}\\
 \Rightarrow \dfrac{{3a + b}}{a} = \dfrac{{3c + d}}{c}\\
 \Rightarrow \dfrac{a}{{3a + b}} = \dfrac{c}{{3c + d}}
\end{array}$

Như vậy ta có đpcm.

d) Ta có:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{c}{d}} \right)^2} = \dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$ \Rightarrow \dfrac{{ac}}{{bd}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}$

$ \Rightarrow \dfrac{{ac}}{{bd}} = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}$

Như vậy ta có đpcm.

e) ĐK: $c \ne 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\\
 \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{b}{d}} \right)^2} = \dfrac{a}{c}.\dfrac{b}{d}
\end{array}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$ \Rightarrow \dfrac{{ab}}{{cd}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \dfrac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}}$

$\Rightarrow \dfrac{{ab}}{{cd}} = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}}$

Như vậy ta có đpcm.

f) ĐK: $c\ne 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\left( 1 \right)\\
 \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{b}{d}} \right)^2} = \dfrac{a}{c}.\dfrac{b}{d} \Rightarrow \dfrac{{ab}}{{cd}} = {\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2}\left( 2 \right)
\end{array}$

Lại có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\left( 1 \right) \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{a - b}}{{c - d}}$

$ \Rightarrow {\left( {\dfrac{a}{c}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{a - b}}{{c - d}}} \right)^2}\left( 3 \right)$

Từ $(2),(3)$ ta có: $\dfrac{{ab}}{{cd}} = {\left( {\dfrac{{a - b}}{{c - d}}} \right)^2}$

Như vậy ta có đpcm.