Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$A\left( { - 3,2} \right);B\left( {8, - 7} \right);C\left( {4, - 1} \right)$

a) Phương trình đường thẳng $AB$ là:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \dfrac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{{11}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 9}}\\
 \Leftrightarrow 9x + 11y + 5 = 0
\end{array}$

Vậy $AB:9x + 11y + 5 = 0$

b) Ta có:

Đường cao đi qua $C(4,-1)$ nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {11, - 9} \right)$ là vecto pháp tuyến có phương trình là: $11\left( {x - 4} \right) - 9\left( {y + 1} \right) = 0$

Hay $11x - 9y - 53 = 0$

c) Ta có:

$M$ là trung điểm của $BC$ nên $M\left( {6, - 4} \right)$

$\to$ Phương trình đường thẳng $AM$ là:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{x - {x_A}}}{{{x_M} - {x_A}}} = \dfrac{{y - {y_A}}}{{{y_M} - {y_A}}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3}}{9} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 6}}\\
 \Leftrightarrow 2x + 3y = 0
\end{array}$

Vậy $AM:2x + 3y = 0$

d) Ta có;

$\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left( {8 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 7 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {202} \\
AC = \sqrt {{{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {58} \\
BC = \sqrt {{{\left( {4 - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - \left( { - 7} \right)} \right)}^2}}  = 2\sqrt {13} 
\end{array}$

Suy ra:

Chu vi tam giác $ABC$ là $AB + AC + BC = \sqrt {202}  + \sqrt {58}  + 2\sqrt {13} $

e) 

+) Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là:

$G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + y{_C}}}{3}} \right)$ hay $G\left( {3, - 2} \right)$

+) Đường cao đi qua $B$ của tam giác $ABC$ nhận $\overrightarrow {AC}  = \left( {7, - 3} \right)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $7\left( {x - 8} \right) - 3\left( {y + 7} \right) = 0$ hay $7x - 3y - 77 = 0$

Khi đó:

Tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}
7x - 3y - 77 = 0\\
11x - 9y - 53 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{89}}{5}\\
y = \dfrac{{238}}{{15}}
\end{array} \right.$

Vậy $H\left( {\dfrac{{89}}{5},\dfrac{{238}}{{15}}} \right)$

+) Gọi $I(a,b)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
I{A^2} = I{B^2}\\
I{B^2} = I{C^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {\left( {a - 8} \right)^2} + {\left( {b + 7} \right)^2}\\
{\left( {a - 8} \right)^2} + {\left( {b + 7} \right)^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6a - 4b + 13 =  - 16a + 14b + 113\\
 - 16a + 14b + 113 =  - 8a + 2b + 17
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
22a - 18b = 100\\
 - 8a + 12b =  - 96
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{{ - 22}}{5}\\
b = \dfrac{{ - 164}}{{15}}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $I\left( {\dfrac{{ - 22}}{5},\dfrac{{ - 164}}{{15}}} \right)$

f) Ta có:

$p = \dfrac{{BA + AC + BC}}{2} = \dfrac{{\sqrt {202}  + \sqrt {58}  + 2\sqrt {13} }}{2}$

Áp dụng công thức Heron ta có:

${S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}  = 15$

Vậy ${S_{ABC}} = 15$