a/ $D$ đối xứng $H$ qua $M$

$→M$ là trung điêmr $HD$ mà $M$ là trung điểm $AC$

$→AHCD$ là hình bình hành

mà $\widehat{AHC}=90^\circ$ ($AH$ là đường cao  $BC$)

$→AHCD$ là hình chữ nhật

b/ $S_{\Delta{ABC}}=\dfrac{1}{2}.BC.AH=\dfrac{1}{2}.12.8=48(cm²)$

c/ $AHCD$ là hình chữ nhật

$→AD//CH$ hay $AD//BH$ và $AD=HC$

$ΔABC$ cân tại $A$ mà $AH$ là đường cao

$→AH$ là trung tuyến $BC$

$→HC=HB$ mà $AD=HC$

$→AD=HB$

Xét tứ giác $ABHD$: 

$AD=HB$ và $AD//HB$

$→ABHD$ là hình bình hành

d/ Hình chữ nhật $AHCD$ là hình vuông

$→AH=CH$ hay $AH=\dfrac{BC}{2}$

mà $AH$ là trung tuyến $BC$

$→ΔABC$ vuông tại $A$ mà $ΔABC$ cân tại $A$

$→ΔABC$ vuông cân tại $A$

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $M$ là trung điểm $AC$

            $H,D$ đối xứng qua $M\to M$ là trung điểm $HD$

$\to ADCH$ là hình bình hành

Mà $AH\perp BC\to AH\perp CH$

$\to AHCD$ là hình chữ nhật

b.Ta có: $S_{ABC}=\dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12\cdot 8\cdot 12=48$

c.Ta có $ADCH$ là hình chữ nhật

$\to AD=HC, AD//HC$

Mà $\Delta ABC$ cân tại $A,AH\perp BC\to H$ là trung điểm $BC\to HB=HC$

$\to AD=HB, AD//BH$

$\to ADHB$ là hình bình hành

d.Để $AHCD$ là hình vuông

$\to\widehat{ACH}=45^o\to\widehat{ACB}=45^o$

$\to\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^o$

$\to\Delta ABC$ vuông cân tại $A$